作业帮求证：当p,q都是奇数时,方程x²+2px+2q=0（p²-2q＞0）的根都是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 18:14:18
求证：当p,q都是奇数时,方程x²+2px+2q=0（p²-2q＞0）的根都是无理数
求证：当p,q都是奇数时,方程x²+2px+2q=0（p²-2q＞0）的根都是无理数
求证：当p,q都是奇数时,方程x²+2px+2q=0（p²-2q＞0）的根都是无理数
注：delta--------判别式b^2-4ac
delta/4=p^2-2q
令p=2k+1,q=2b+1（奇数的表示方法,其中k为整数）
则delta=2*(√2)*√(2k^2+2k-2b+1)
而2k^2+2k-2b+1是奇数,不是二的倍数,不能与√2抵消.
又因为p^2为奇数,2q为偶数,所以delta不等于0
所以方程只有无理根.
证明：若此方程的根有一个是整数，则由两根之和为-2p知，另一根也是整数，因为两根之和为偶数，所以这两整数根要么同为偶数，要么同为奇数，若x1=2m,x2=2n,其中m,n是整数，则x1x2=2q
因为x1x2=4mn，所以q=2mn,这与q是奇数矛盾，说明两根不能同为偶数，
若两根同为奇数，则两根之积也是奇数，而两根之积是2q，这说明两根也不能同为奇数。因此原方程没有整数根。若方程...
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证明：若此方程的根有一个是整数，则由两根之和为-2p知，另一根也是整数，因为两根之和为偶数，所以这两整数根要么同为偶数，要么同为奇数，若x1=2m,x2=2n,其中m,n是整数，则x1x2=2q
因为x1x2=4mn，所以q=2mn,这与q是奇数矛盾，说明两根不能同为偶数，
若两根同为奇数，则两根之积也是奇数，而两根之积是2q，这说明两根也不能同为奇数。因此原方程没有整数根。若方程有分数根m/n，其中m,n互质，且n为大于1的正整数。
则有m^2/n^2+2pm/n+2q=0,所以m^2+2pmn+2qn^2=0，即m^2=-2pmn+2qn^2
所以m^2能被n整除，则n能整除m，这与n,m互质矛盾
综上所述，方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的两根都不是有理数，即都是无理数
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