作业帮已知圆C：x^2+y^2-6y+8=0,O为原点.（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；(2)若P是圆上C上的动点,M是OP的中点,求点M的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 10:23:17
已知圆C：x^2+y^2-6y+8=0,O为原点.（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；(2)若P是圆上C上的动点,M是OP的中点,求点M的轨迹方程
已知圆C：x^2+y^2-6y+8=0,O为原点.（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；
(2)若P是圆上C上的动点,M是OP的中点,求点M的轨迹方程
已知圆C：x^2+y^2-6y+8=0,O为原点.（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；(2)若P是圆上C上的动点,M是OP的中点,求点M的轨迹方程
1、
设过原点O的圆C的切线方程为y=kx
y=kx代入x²+y²-6y+8=0
(k²+1)x²-6kx+8=0
直线与圆相切,方程有两相等的实数根.
(-6k)²-4(k²+1)×8=0
整理,得
k²=8
k=2√2或k=-2√2
(2)
x²+y²-6y+8=0
x²+(y-3)²=1
设点P坐标(cosa,3+sina)
设点M坐标(x,y)
x=(cosa+0)/2=cosa/2 cosa=2x
y=(sina+3+0)/2=(sina+3)/2 sina=2y-3
cos²a+sin²a=1
(2x)²+(2y-3)²=1
x²/(1/4)+(y-3/2)²/(1/4)=1
这就是所求的点M的轨迹方程,是一个椭圆.
第一问，由题意。
设切点为(x0,y0).
则有。x0^2+(y0-3)^2=1 和 x0^2+y0^2+x0^2+(y0-3)^2=9。
解得y0为8/3，x0为±(2√2)/3。
又过原点。则分别为y=±(2√2)x。
第二问，
设p为(x1,y2).则m(1/2x1,1/2y1)
令m为(x2,y2).
则x1=2x2,y1=2...
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第一问，由题意。
设切点为(x0,y0).
则有。x0^2+(y0-3)^2=1 和 x0^2+y0^2+x0^2+(y0-3)^2=9。
解得y0为8/3，x0为±(2√2)/3。
又过原点。则分别为y=±(2√2)x。
第二问，
设p为(x1,y2).则m(1/2x1,1/2y1)
令m为(x2,y2).
则x1=2x2,y1=2y2.代入原圆方程得到x2y2关系。
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