作业帮不可数集和紧集部分定理的证明1）证明：A是所有元素是0,1的序列的集合,证明A是不可数的.书上假设E是A的一个可数子集,E中的元素分别为s1 s2 s3...然后取一个s,假设sn的第n位是与s的第n位互为0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 03:11:07
不可数集和紧集部分定理的证明1）证明：A是所有元素是0,1的序列的集合,证明A是不可数的.书上假设E是A的一个可数子集,E中的元素分别为s1 s2 s3...然后取一个s,假设sn的第n位是与s的第n位互为0
不可数集和紧集部分定理的证明
1）证明：A是所有元素是0,1的序列的集合,证明A是不可数的.
书上假设E是A的一个可数子集,E中的元素分别为s1 s2 s3...然后取一个s,假设sn的第n位是与s的第n位互为0,1(一个是0,则一个就是1）,那么s就与E中任何元素不同,但是s属于A,得出结论：每个A的可数子集是A的真子集.然后就推出结论,A是不可数的（理由是否则A就是A的真子集）
我想问：如何从每个A的可数子集是A的真子集推出结论：A是不可数的,给出的理由很不理解……
2）证明：度量空间的紧子集都是闭集
书上假设K是度量空间X的紧子集,他试图证明K的补集是X的开子集,方式如下：
假设p不属于K,q属于K,Vp和Wq分别是p和q的邻域,半径小于d(p,q)/2,由于K是紧的,那么K属于Wq1,Wq2…Wqn的并集W,而假设V是所有Vp1,Vp2…Vpn的交集,然后由V不交W,V属于K的补集得出V是K的补集的内点,得证.
我想问：
1．如果p是K的补集的最边缘点,那么V就是p点,不足以说V是K的补集的内点,如何从这方面理解?
2．对于开集(1,2)和闭集[1,2],都可以被有限隔开子集覆盖,为什么前者就不可能是紧集.
对于度量空间的紧子集都是闭集,能否有更直观的例子,或者正面的证明.
3．紧集中定义要求是有限个开覆盖,这个有限个的要求的目的是什么,是什么方向上的考虑?
虽然问题繁琐,但望牛牛们能够帮忙解释下,小弟谢谢了先.
不可数集和紧集部分定理的证明1）证明：A是所有元素是0,1的序列的集合,证明A是不可数的.书上假设E是A的一个可数子集,E中的元素分别为s1 s2 s3...然后取一个s,假设sn的第n位是与s的第n位互为0
1)我觉得这题可以直接用反证,无穷集合不可数的反面不就是可数啊,反证推出矛盾就可以了
照他这么做稍稍绕了个小弯子,理由是A如果是可数的话,那么A本身就是A的一个可数子集,根据前面结论：每个A的可数子集是A的真子集,所以A也是A的一个真子集,显然矛盾
他的这种思路其实对有经验的人来说,并未通过括号内的思考,凭直觉就能得到A是不可数的.括号内只是写给初学者看的（其实括号里的就是反证）.但我觉得他这样证明对初学者来说并不好,这题直接反证思路更简单些
2）1：你说的这种情况是不存在的,应为它不是紧集,正如定理所说的,紧子集都是闭集,所以边界点一定在K上
2：这是你对有限覆盖定理的不理解,有限覆盖定理是说：在任意一族能覆盖这个点集的开覆盖中,一定能找到有限个开覆盖,它们覆盖了该点集
比如说(1+1/n,2)这样的一族开覆盖,它们能覆盖（1,2）,因为（1,2）中任意一点x都能找到一个n,使得x被（1+1/n,2)覆盖,但是不可能从这族覆盖中找处有限个来覆盖住(1,2),不可能是紧集.
有限覆盖是一个比较深刻的概念,一般初学着把紧子集当成闭集看待就可以了