已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 14:34:19
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已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式
1/(an+1)=1/(an)+1
由题意得:
∵a1=1/2,a(n+1)=an/(1+an)
∴有:a2=1/3,a3=1/4,a4=1/5......
以此类推:
可猜想:an=1/(1+n)
用数学归纳法证明:
①n=1时,a1=1/2,显然猜想成立
②设n=k时也成立,即有a(k)=1/(1+k),【如果证得a(k+1)猜想也成立就完成了】
由题意可得:
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由题意得:
∵a1=1/2,a(n+1)=an/(1+an)
∴有:a2=1/3,a3=1/4,a4=1/5......
以此类推:
可猜想:an=1/(1+n)
用数学归纳法证明:
①n=1时,a1=1/2,显然猜想成立
②设n=k时也成立,即有a(k)=1/(1+k),【如果证得a(k+1)猜想也成立就完成了】
由题意可得:
a(k+1)=a(k)/(1+a(k))
∴把假设条件a(k)=1/(1+k)代入上式得:
a(k+1)=[1/(1+k)]/{1+[1/(1+k)]}
=1/(2+k)
=1/[1+(1+k)]
∴猜想成立
∴得证
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