谁能帮我用幂级数求解这个常微分方程x''+ tx'+ x =0 已知：x(0)=0; x'(0)=1

谁能帮我用幂级数求解这个常微分方程x''+ tx'+ x =0 已知：x(0)=0; x'(0)=1
谁能帮我用幂级数求解这个常微分方程
x''+ tx'+ x =0
已知：x(0)=0; x'(0)=1

谁能帮我用幂级数求解这个常微分方程x''+ tx'+ x =0 已知：x(0)=0; x'(0)=1
x=a0+a1*t+a2*t^2+...+an*t^n+...
则 x'=a1+2*a2*t+...+n*an*t^(n-1)+...
根据初始条件 x(0)=0; x'(0)=1,
可求得 a0=0,a1=1
x''=2*a2+3*2*a3*t+4*3*a4*t^2+...+(n+2)*(n+1)*a(n+2)*t^n+...
把 x,x',x''代入 x''+ tx'+ x =0 ,得
2*a2+3*2*a3*t+4*3*a4*t^2+...+(n+2)*(n+1)*a(n+2)*t^n+...
＋(t+2*a2*t^2+...+n*an*t^n+...)+(t+a2*t^2+...+an*t^n+...)=0
上式由于代入了微分方程的解,因此是个恒等式,即左边各同类项系数的代数和必全为0,于是有
a2=0,
3*2*a3+2=0,a3=-1/3
4*3*a4+3*a2=0,a4=0
5*4*a5+4*a3=0,a5=1/(3*5)
.,.
(n+2)*(n+1)*a(n+2)+(n+1)*an=0 ,a(n+2)=-an/(n+2)
.,.
由此逐一求得
a6=0,a7=-1/(3*5*7),a8=0,a9=1/(3*5*7*9),等
于是满足所给方程及初始条件的解为
x=t-t^3/3+t^5/(3*5)-t^7/(3*5*7)+t^9/(3*5*7*9)-.+(-1)^(n+1)*t^(2n-1)/[3*5*7*...*(2n-1)]+...

问老师