已知圆c:x²+y²-2x+4y-4=,是否存在斜率为1的直l,使以l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 03:28:26
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已知圆c:x²+y²-2x+4y-4=,是否存在斜率为1的直l,使以l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由
已知圆c:x²+y²-2x+4y-4=,是否存在斜率为1的直l,使以l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由
已知圆c:x²+y²-2x+4y-4=,是否存在斜率为1的直l,使以l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由
假设存在,设L:y=x+b,设A(x1,y1),B(x2,y2);AB的中点M(x0,y0);
则:x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2
则以AB为直径的圆,圆心为M,半径r=AB/2;
因为要求使该圆过原点,所以MO=r,即:MO=AB/2;
4MO²=AB²,
4MO²=4(x0²+y0²)=(x1+x2)²+(y1+y2)²
因为A,B在直线L:y=x+b上,
所以:y1=x1+b,y2=x2+b;则:y1+y2=x1+x2+2b;
所以:4MO²=(x1+x2)²+(x1+x2+2b)²=2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²;
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
因为:y1-y2=x1-x2
所以:AB²=2(x1-x2)²=2[(x1+x2)²-4x1x2]=2(x1+x2)²-8x1x2;
由4MO²=AB²得:2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²=2(x1+x2)²-8x1x2
即:b(x1+x2)+2x1x2+b²=0;
直线L:y=x+b 与圆C:x²+y²-2x+4y-4=0
联列方程组,消去y,得关于x的一元二次方程:x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4=0;
整理得:2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0;
由韦达定理:x1+x2=-(b+1),x1x2=(b²+4b-4)/2;
代入等式b(x1+x2)+2x1x2+b²=0,得:-b(b+1)+b²+4b-4+b²=0;
整理得:b²+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
解得:b1=-4,b2=1;
对于二次方程:2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0要有两个不同的实数根;
所以,判别式=4(b+1)²-8(b²+4b-4)>0;
即:4b²+24b-36