设A,B是双曲线x²-y²/8=1的左右顶点,P是直线x=1/3上异于（1/3,0)的点,若直线AP,BP分别与双曲线交于M,N,试判断A与以MN为直径的圆的位置关系

设A,B是双曲线x²-y²/8=1的左右顶点,P是直线x=1/3上异于（1/3,0)的点,若直线AP,BP分别与双曲线交于M,N,试判断A与以MN为直径的圆的位置关系
设A,B是双曲线x²-y²/8=1的左右顶点,P是直线x=1/3上异于（1/3,0)的点,
若直线AP,BP分别与双曲线交于M,N,试判断A与以MN为直径的圆的位置关系

设A,B是双曲线x²-y²/8=1的左右顶点,P是直线x=1/3上异于（1/3,0)的点,若直线AP,BP分别与双曲线交于M,N,试判断A与以MN为直径的圆的位置关系
x²-y²/8=1的左右顶点是A(-1,0),B(1,0)
P是直线x=1/3上的点,所以可设P(1/3,m),m≠0
直线AP的方程是：y=m/(1/3+1)(x+1),即：y=3m/4(x+1)
联立方程与x²-y²/8=1
∴（8-9m²/16)x²-9m²/8x-(9m²/16+8)=0
∵直线AP与双曲线交于A,M
∴由根与系数的关系知：x1x2=(9m²/16+8)/(9m²/16-8),∴M的横坐标为：(9m²/16+8)/(8-9m²/16)
同理可知：直线BP：y=m/(1/3-1)(x-1),即：y=-3m/2(x-1)
可得：N的横坐标是：(9m²/4+8)/(9m²/4-8)
∴M（(9m²/16+8)/(8-9m²/16),12m/(8-9m²/16))
N((9m²/4+8)/(9m²/4-8),24m/(8-9m²/4))
∴向量AM=（16/(8-9m²/16,12m/(8-9m²/16))
向量AN=（9m²/2/(9m²/4-8),24m/(8-9m²/4))
向量AM*向量AN=16/(8-9m²/16)×9m²/2/(9m²/4-8)+12m/(8-9m²/16)×24m/(8-9m²/4)
=-216m²/(8-9m²/16)(9m²/4-8)
现在讨论m的范围：△=81m^4/64+4(8-9m²/16)(9m²/16+8)
=4×64＞0恒成立
且xA+xM=9m²/8÷（8-9m²/16)＜0
∴m²＞128/9
∵(8-9m²/16)(9m²/4-8)
=-81/64m^4+45m²/2-64
对称轴：m²=45/2÷(81/64×2)=80/9
∴（-81/64m^4+45m²/2-64）max
＜-81/64×(128/9)²+45/2×128/9-64
＜-320+320=0
∴向量AM*向量AN=-216m²/(8-9m²/16)(9m²/4-8)＞0恒成立
∴A在以M,N为直径的圆的外面