在抛物线y²=4x上求点p,使得点p到直线y=x+3的距离最短
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 09:25:13
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在抛物线y²=4x上求点p,使得点p到直线y=x+3的距离最短
在抛物线y²=4x上求点p,使得点p到直线y=x+3的距离最短
在抛物线y²=4x上求点p,使得点p到直线y=x+3的距离最短
平移y=x+3至直线y=x+m的位置
此时直线y=x+m与抛物线只有一个交点,这个交点即为所求
求这个交点:
将y=x+m代入方程:y的平方=4x
得(x+m)^2=4x
化简成一元二次方程,令跟的判别式=0,得m=1
将m=1代入(x+m)^2=4x
解得x=1,代入y的平方=4x
得y=2
所以点为(1,2)
假设这一点坐标为P(a^2/4,a)
过P做直线 垂直于Y=X+3
假设直线的解析式为y=-x+n
代入P点,则n=a^2/4+a
即y=-x+a^2/4+a
于y=x+3交点为
解方程组得到
交点为 [(a^2/4+a-3)/2 ,(a^2/4+a+3)/2]
则距离的平方为
[a^2/4-(a^2/4+a-3)/2]^2+[a-(a^2/4+a+3)/2]^2
=(a^2/4-a+3)^2/2
令其取最小值,即y=a^2/4-a+3 取最小值
y=a^2/4-a+3
y=1/4(a-2)^2+2
当a=2时,为最小值
则P点坐标为 ( a^2/4,a )
P(1,2)