计算弧长积分∮[L](x²+y²+y³)ds,其中L是圆周x²+y²=ax书上的答案是（πa³)／3

计算弧长积分∮[L](x²+y²+y³)ds,其中L是圆周x²+y²=ax书上的答案是（πa³)／3
计算弧长积分∮[L](x²+y²+y³)ds,其中L是圆周x²+y²=ax
书上的答案是（πa³)／3

计算弧长积分∮[L](x²+y²+y³)ds,其中L是圆周x²+y²=ax书上的答案是（πa³)／3
先假设a>0,圆的方程可化为(x-a/2)^2+y^2=(a^2)/4,化为参数形式：x=a/2+a/2*sint,y=a/2*cost,t∈[0,2π].故ds=(dx^2+dy^2)^(1/2)=(x'(t)^2+y'(t)^2)^(1/2)*dt=a/2*dt
带入第一型曲线积分∮[L](x²+y²+y³)ds中,∮[L](x²+y²+y³)ds=∮[L]（a*x+y^3)*a/2*dt=∮[L]((a^2)/2+(a^2)/2*sint+(a^3)/8*cost^3)*a/2*dt=(a^3)/4*(2π-0)=(π*a^3)/2;
同样方法,当a<0时,求得∮[L](x²+y²+y³)ds=(-π*a^3)/2；
综上,∮[L](x²+y²+y³)ds=π/2*|a|^3,其中L是圆周x^2+y^2=ax,a≠0   //
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