计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/16 22:33:00
![计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.](/uploads/image/z/8634784-40-4.jpg?t=%E8%AE%A1%E7%AE%97%E2%88%AB%E2%88%AB%28z%2B2x%2B4%5C3y%29ds%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%E2%88%91%E4%B8%BA%E5%B9%B3%E9%9D%A2x%5C2%2By%5C3%2Bz%5C4%3D1%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8D%A6%E9%99%90%E4%B8%AD%E7%9A%84%E9%83%A8%E5%88%86.)
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计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
计算∫∫(z+2x+4\3y)ds,其中∑为平面x\2+y\3+z\4=1在第一卦限中的部分.
平面方程两边乘以4,得z+2x+4\3y=4,所以积分∫∫(z+2x+4\3y)ds=∫∫4ds,接下来计算平面与三坐标轴的三个交点围成的△的面积即可.方法不唯一,比如计算四面体的体积,而原点到平面的距离可求,所以三角形的面积可求.
也可以把曲面积分化为二重积分,求出z对x,y的偏导数,ds=√(61)/3dxdy,∑在xoy面上的投影区域由x=0,y=0,x\2+y\3=1围成.
所以∫∫(z+2x+4\3y)ds=∫∫4ds=∫∫4×√(61)/3dxdy=4×√(61)/3×1/2×2×3=4√(61)