如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形A1B1C1D1,使边A1B1在AF上,其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角

如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形A1B1C1D1,使边A1B1在AF上,其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角
如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形
A1B1C1D1,使边A1B1在AF上,其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；

（3）在（2）的条件下,取出△AEF,将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠,求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．

如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是DC中点,点F在BC边上,且CF=1,在△AEF中作正方形A1B1C1D1,使边A1B1在AF上,其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角
1） ADE,CEF,AEF,AA1D,D1EC1,B1C1F都是边长等于1：2的三个直角三角形
2）AF=√(16+9)=5
AE=√20 = AD1+D1E= √5×A1D1 + D1C1×(2÷√5)
A1D1=√20÷[√5 + (2÷√5)] = 10/7
3）由于∠EC1D1、∠FC1B1互余,折叠后不会重合中.
原正方形A1B1C1D1面积:100/49
△EC1D1面积=(10/7÷√5)×(10/7÷√5)×2÷2=20/49
△C1FB1面积=(10/7)×(10/7)÷2÷2=25/49
未被两个折叠三角覆盖的四边形面积：100/49-20/49-25/49=55/49

(1)两直角边1:2的三角形有 ADE ECF AEF AA1D1 EC1D1 FC1B1
(2)AF=5 小正方形边长10/7
（3）未被覆盖的面积=55/49

解 析 （1）图中满足直角边之比等于1：2的直角三角形共有6个，Rt△CEF与Rt△ADE比较明显，打开找出另外四个之一的“缺口”是证出∠AEF=90°．下面给出两种思路：思路一是先证出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，结合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，从而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分别使用勾股定理求出AE、E...

全部展开

解 析 （1）图中满足直角边之比等于1：2的直角三角形共有6个，Rt△CEF与Rt△ADE比较明显，打开找出另外四个之一的“缺口”是证出∠AEF=90°．下面给出两种思路：思路一是先证出△ADE∽△ECF，得到∠FEC=∠EAD，结合Rt△ADE中有∠DEA+∠EAD=90°，可得∠DEA+∠FEC=90°，从而∠AEF=90°．思路二是在△ADE、△ECF和△ABF中分别使用勾股定理求出AE、EF和AF的长，再由勾股定理的逆定理证出∠AEF=90°；
（2）由EM×AF=AE×EF=2S△AEF可以求出EM=2，另外由△D1C1E∽△AFE得出
ENEM
=
D1C1AF
是利用了“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质，这也是解决形如图2问题的基本方法．该小题如果注意到△AA1D1与△C1B1F都是直角边之比等于1：2的直角三角形的话，不添辅助线也可得出答案：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AA1=2x，B1F=
12
x，因为AA1+A1B1+B1F=AF=5，所以2x+x+
12
x=5，解得正方形的边长x=
107
；
（3）如何说明△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠以后两个三角形的交界处既不重叠又没有空隙是一个难点，比较容易忽略，值得引起重视．下面给出一种另解供参考：由△E1C1D1、△C1B1F1分别由△EC1D1、△C1FB1折叠而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因为正方形A1B1C1D1中有∠D1C1B1=90°，所以∠4+∠1=180°-90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D1C1B1，从而C1E1与C1F1重合在一条直线上（或三点C1、E1、F1在一条直线上）．

（解答）（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、Rt△ED1C1、Rt△C1B1q．（写出其中三个即可）
（2）AF= AB2+fF2=5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则
∵AD=7，DE=EC=5，CF=1，
∴EF= 5，AE= AD2+DE2=2 5，
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM= 9×2 5，
∴EM=2，
∵四边形A1B1C1D7是正方形
∴D4C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴ ENEM=D1C1AF
设正方形A1B1C2D1的边长为x，则
2-62=x5
解得x= 100
∴正方形A1B1C1D1的边长为 107．
（3）∵D1C1= 107，EN=0- 100= 47
∴S△D2EC2= 12× 707× y7= 2049
∴ C1B1B1F= 21，C1B1= 1h7
∴B1F= 57
∴S△C1B1F1= 12× 107× 57= 2549
∵∠1=∠2，∠1+∠4=00°，∠2+∠3=00°
∴∠3=∠m
∴E1点在u4F1上
又∵S正方形A1B1 CrD1=（ 109）2= 10049
∴S未被覆盖四边形= 10049- 25a9- 2049= 5509．

收起