在四面体ABCD中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.①设P为AC中点.下接问题补充:证明在AB上存在一点Q使PQ⊥OA.并计算AB/AQ的值②求二面角O-AC-B的余弦值PS.解完第一题后,请接着第一题的结果解第二
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 17:20:23
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在四面体ABCD中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.①设P为AC中点.下接问题补充:证明在AB上存在一点Q使PQ⊥OA.并计算AB/AQ的值②求二面角O-AC-B的余弦值PS.解完第一题后,请接着第一题的结果解第二
在四面体ABCD中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.①设P为AC中点.下接问题补充:
证明在AB上存在一点Q使PQ⊥OA.并计算AB/AQ的值
②求二面角O-AC-B的余弦值
PS.解完第一题后,请接着第一题的结果解第二题
在四面体ABCD中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.①设P为AC中点.下接问题补充:证明在AB上存在一点Q使PQ⊥OA.并计算AB/AQ的值②求二面角O-AC-B的余弦值PS.解完第一题后,请接着第一题的结果解第二
(1)AB/AQ=3
由于OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,
得AC=√2,BC=√2,AB=√3.AP=√2/2,AQ=√3/3
有余弦定理得cos∠PAQ=√6/4,
则PQ=√3/3.
过Q点作QE⊥OA交OA于E点,连接PE.
在Rt△QAE中∠QAE=30°,QE=1/2*AQ=√3/6,AE=1/2.
在△APE中∠PAE=45°
有余弦定理得PE=1/2,
则△APE为Rt△.PE⊥OA,OA垂直QE与PE相交直线,OA⊥PQE平面,
则PQ⊥OA,故原命题成立
(2)
过点P作PF⊥AC交AB于F,
在Rt△APF中,tan∠PAQ= √15/3,PF=AP*tan∠PAQ=√30/6.
P为AC的中点,OP⊥AC,OP=√2/2.
在△AFO中,AF=AP/cos∠PAQ=2√3/3,OA=1,∠FAO=30°,则OF=1/3,
在△POF中,PF=√30/6,OP=√2/2,OF=1/3,三边已知,
有余弦定理得cos∠FPO=二面角O-AC-B的平面角的余弦=11√15/45