函数y＝sinx-cosx的最大值为?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 19:37:33
函数y＝sinx-cosx的最大值为?
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设M=sinx+cosx
则M=√2[√2/2sinx+√2/2cosx]
=√2[cos(π/4)sinx+sin(π/4)cosx]
=√2sin(x+π/4)
∴M的值域为[-√2，√2]
又∵M²=(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴...

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设M=sinx+cosx
则M=√2[√2/2sinx+√2/2cosx]
=√2[cos(π/4)sinx+sin(π/4)cosx]
=√2sin(x+π/4)
∴M的值域为[-√2，√2]
又∵M²=(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(M²-1)/2
∴y=(M²-1)/2+M=(1/2)(M-1)²-1
∵M的值域是[-√2，√2]
∴最大值是当M=-√2时，y=√2+1/2
最小值是当M=1时，y=-1

收起

由万能公式得y＝sinx-cosx=√2sin(x-派/4)
故最大值为√2

y=(√2/2*sinx-√2/2*cosx)*√2=√2*(cos(pi/4)*sinx-sin(pi/4)*cosx)=√2*sin(x-pi/4)
所以最大值为√2

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