作业帮如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点,求AC与PB所成角求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值 用立体几何姐w
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 08:49:09
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点,求AC与PB所成角求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值 用立体几何姐w
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点,求AC与PB所成角
求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值 用立体几何姐
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点,求AC与PB所成角求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值 用立体几何姐w
法1（立体几何法）
二面角P-BD-C是二面角P-BD-A的补角.PB=√(PA^2+AB^2)=2√7,PD=√(PA^2+AD^2)=2√5,BD=√(AD^2+AB^2)=4.这是个锐角三角形,所以过P作BD的垂线垂足在BD上,作PE⊥BD交BD于E.设BE=x,则DE=4-x.由PB^2-BE^2=PD^2-DE^2得：(2√7)^2-x^2=(2√5)^2-(4-x)^2,解得x=3.故PE=√[(2√7)^2-3^2]=√19.
连接EA.则sin∠PEA=PA/PE=4/√19=4√19/19,∠PEA=arcsin4√19/19,所以二面角P-BD-C为π-arcsin4√19/19.
法2（空间向量法）
在图形空间建立三维直角坐标系,A为原点(0,0,0),向量AB方向为x轴正方向,向量AD方向为y轴正方向,向量AP方向为z轴正方向.
B(2√3,0,0),C(2√3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4)
平面PBD过P、B、D三点,其平面方程为x/2√3+y/2+z/4=1,化简得：2x+2√3y+√3z-4√3=0.则该平面方向向上的一条法向量n1=(2,2√3,√3).
平面CBD过B、C、D三点,其平面方程为z=0.该平面方向向上的单位法向量n2=(0,0,1).
两条法向量的夹角即为二面角P-BD-C的补角.
cos
故二面角P-BD-C的大小为π-arccos√57/19=π-arcsin4√19/19
提示如下
(1)
取PA中点E，PC中点F，AC中点G，AB中点N，连接EF、FG、FN、GN、CN、MN，设AD=a
EN平行PB，EF平行AC，角FEN即为AC与PB所成的角
因PA垂直面ABCD，则PA垂直GN，又GF平行PA，则GF垂直GN
因AN=AB/2=CD,CD垂直AB，则ADCN为正方形，则AN=NC
又G为AC中点，则GN垂直AC...
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提示如下
(1)
取PA中点E，PC中点F，AC中点G，AB中点N，连接EF、FG、FN、GN、CN、MN，设AD=a
EN平行PB，EF平行AC，角FEN即为AC与PB所成的角
因PA垂直面ABCD，则PA垂直GN，又GF平行PA，则GF垂直GN
因AN=AB/2=CD,CD垂直AB，则ADCN为正方形，则AN=NC
又G为AC中点，则GN垂直AC，则AC垂直面GFN，则AC垂直FN
因E、F分别为PA、PC中点，则EF平行AC，则EF垂直FN
EF=AC/2=根2*AD/2=a*根2/2
EN=PB/2=根(a^+(2a)^)/2=a*根5/2 (^表示平方)
cos角NEF=EF/EN=根2/根5=(根10)/5
(2) 过N作NG垂直CM于G，连接AG，BG
（自己证明一下角AGB即为所求，实在想不出再问）
收起
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图在何处？