曲面积分一道题的疑惑对下进行曲面积分∫∫∑z^2ds,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2 为什么我算出来会是0!我ds算出来是R/(R^2-x^2-y^2) dxdy 肯定对的z^2=R^2-x^2-y^2 然后再用2次积分 消光=0了啊?但是答案

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 04:45:40
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曲面积分一道题的疑惑
对下进行曲面积分
∫∫∑z^2ds,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2
为什么我算出来会是0!
我ds算出来是R/(R^2-x^2-y^2) dxdy 肯定对的
z^2=R^2-x^2-y^2
然后再用2次积分 消光=0了啊?但是答案不是0啊 我错在哪里啊

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将z^2看成是球面的面密度函数,则∫∫∑z^2ds求出的是球面的质量,根据对称性
∫∫∑z^2ds应为上半球面积分的2倍,而不可能抵消!
或者直接算也不会抵消,上、下半球面的ds均为R/(R^2-x^2-y^2) dxdy ,设球面在xoy面上投影区域为D,则∫∫∑z^2ds=∫∫D(R^2-x^2-y^2)*R/(R^2-x^2-y^2)dxdy（上半球面积分）
+∫∫D(R^2-x^2-y^2) *R/(R^2-x^2-y^2) dxdy （下班球面积分）
=2∫∫D(R^2-x^2-y^2) *R/(R^2-x^2-y^2) dxdy

这个用球坐标变化计算，这样可以转化为一个二重积分。
至于你说的ds=R/(R^2-x^2-y^2) dxdy 我没看懂，不知道怎么算出来的。

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