作业帮证明：根2 根3 根5 不能同为一等差数列的三项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 18:31:09
证明：根2 根3 根5 不能同为一等差数列的三项
证明：根2 根3 根5 不能同为一等差数列的三项
证明：根2 根3 根5 不能同为一等差数列的三项
反证法： 假设三个为数列的3项
为了书写方便 根2写成f(2) ,根3为f(3),根5是f(5)
因为f(2),f(3),f(5)等差数列三项 ,设公差p
可以假设 f(3) - f(2) = mp;
f(5)-f(2) = n*p;
有 (f(3)-f(2)) : (f(5)-f(2)) = m:n 为有理数 ,
但是可计算(f(3)-f(2)) : (f(5)-f(2)) 是无理数（分母f分母乘上f(5)+f(2)）,可以推出矛盾,命题等证
先假设可以，设公差d，且根5-根3=xd，根3-根2=yd，(x y均是整数)
则，(根5-根3)/(根3-根2)=x/y，
x/y为有理数，但是(根5-根3)/(根3-根2)为无理数(可以算下)，矛盾
所以不能同为一等差数列的三项
根3-根2=nd
根5-根3=md
d为公差，m ,n都为整数
（根3-根2）/（根5-根3）=m/n不为整数
所以不可能
所以可以
设该等差数列的公差为d
则√3-√2=md……（1）
√5-√3=nd……（2）
其中m、n均为整数
则(1)*n-(2)*m得：
(√3-√2)n=(√5-√3)m
所以m/n=(√3-√2)/(√5-√3)=(3+√15-√10-√6)/2
左边m/n是一个有理数，而右边是无理数，矛盾！
故假设不成立。...
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所以可以
设该等差数列的公差为d
则√3-√2=md……（1）
√5-√3=nd……（2）
其中m、n均为整数
则(1)*n-(2)*m得：
(√3-√2)n=(√5-√3)m
所以m/n=(√3-√2)/(√5-√3)=(3+√15-√10-√6)/2
左边m/n是一个有理数，而右边是无理数，矛盾！
故假设不成立。
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设根2 根3 根5 为一等差数列的三项
如公差为d
则可设
根2-根3=n*d
根3-根5=m*d
其中m、n为非零整数
n/m=(根2-根3)/(根3-根5)=1/2(√15-√10-√6+3)
n/m为有理数，右侧为无理数
矛盾
所以假设不成立
设他们同为一等差数列 an = kn+b 的三项
则
根3 = m1 * k + 根2
根5 = m2 * k + 根3 (m1, m2属于Z)
由第一式，可得(根3-根2)/k为整数
所以 k为(根3-根2)的约数
同理 k为(根5-根3)的约数
但是 (根5-根3)和(根3-根2)不可能有这样的约数
所以
根2 根3 根5...
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设他们同为一等差数列 an = kn+b 的三项
则
根3 = m1 * k + 根2
根5 = m2 * k + 根3 (m1, m2属于Z)
由第一式，可得(根3-根2)/k为整数
所以 k为(根3-根2)的约数
同理 k为(根5-根3)的约数
但是 (根5-根3)和(根3-根2)不可能有这样的约数
所以
根2 根3 根5 不能同为一等差数列的三项
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反证法
假设√2、√3、√5为一等差数列的三项
则有√3-√2=md,√5－√3=nd,d为公差，m,n为整数
（√5-√3）/(√3-√2)=n/m
m√5-m√3=n√3-n√2
(m+n)√3=m√5+n√2
m+n=(m√5+n√2)/√3=(m√15+n√6)/3
因为m,n为整数，所以 （m√15+n√6）/3为无理...
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反证法
假设√2、√3、√5为一等差数列的三项
则有√3-√2=md,√5－√3=nd,d为公差，m,n为整数
（√5-√3）/(√3-√2)=n/m
m√5-m√3=n√3-n√2
(m+n)√3=m√5+n√2
m+n=(m√5+n√2)/√3=(m√15+n√6)/3
因为m,n为整数，所以 （m√15+n√6）/3为无理数，
等式左边为整数，右边为无理数，等式不成立。所以√2、√3、√5不可能为一等差数列的三项
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