作业帮问个数学上概率的问题……求会编程的来看看在一个半径为R的圆中随机分布着1000个点,若已知,在该圆中一个半径为r的小圆里分布有多于250个点的概率小于5%,如何求r?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 01:45:55
问个数学上概率的问题……求会编程的来看看在一个半径为R的圆中随机分布着1000个点,若已知,在该圆中一个半径为r的小圆里分布有多于250个点的概率小于5%,如何求r?
问个数学上概率的问题……求会编程的来看看
在一个半径为R的圆中随机分布着1000个点,若已知,在该圆中一个半径为r的小圆里分布有多于250个点的概率小于5%,如何求r?
问个数学上概率的问题……求会编程的来看看在一个半径为R的圆中随机分布着1000个点,若已知,在该圆中一个半径为r的小圆里分布有多于250个点的概率小于5%,如何求r?
方法一：其中 C(m,n)表示组合数
设X表示落入以r为半径的圆中点的个数,p表示一个点落入以r为半径的圆中的概率.则有
p = (r/R)^2;
且X~B(1000,p) ,即X服从二项分布 P(X = k) = C(1000,k)*p^k*(1-p)^(1000-k);
P(X > 250) = ∑ P(X = k) (k = 251,252,.1000)
后面的计算自然可以用编程来实现啦,不过有时我们只需要近似的结果就可以了,这样的话就可以看看方法二了
方法二： 其中Z(α)表示标准正态分布的上α分位数
设
如果第i个点落在以r为半径的圆中,则 Xi = 1,否则 Xi = 0；i= 1,2,...,1000;
那么 Xi~B(1,p) i = 1,2,...,1000 E(Xi) = p D(Xi) = p(1-p)
设X = ∑Xi i = 1,2,...,1000 那么X也就表示落入以r为半径的圆中的点数
由已知可得 每个Xi都是独立且同分布的,那么由中心极限定理可知：
X服从或近似服从正态分布,并且E(X) = 1000p,D(X) = 1000p(1-p)
再设 ξ = ( X - EX)/D(X)^0.5 = ( X - 1000p)/ [1000p(1-p)]^0.5;
那么 ξ~N(0,1),即ξ服从标准正态分布
P( X > 250 ) = P ( ξ > [250 - 1000p]/ [1000p(1-p)]^0.5 )
= 1 - P ( ξ 250 ) = 1 - Φ(a);
令 P( X > 250 ) < 0.05 则 Φ(a) > 0.95
所以a 0.2951
所以 0.5432R < r < R