如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:30:42
![如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少](/uploads/image/z/8768783-47-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BA10%2C%E2%96%B3ABE%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E7%82%B9E%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E5%86%85%2C%E5%9C%A8%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%82%B9P%2C%E4%BD%BFPD%2BPE%E7%9A%84%E5%92%8C%E6%9C%80%E5%B0%8F%2C%E5%88%99%E4%B8%BA%E5%A4%9A%E5%B0%91)
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,
使PD+PE的和最小,则为多少
如图,正方形ABCD的面积为10,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则为多少
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
AB=AD=A=BC=CD=√10
∵△ABE是等边三角形
∴AB=BE=AE=√10
要使PD+PE的和最小
以AC为对称轴,做D的对称点,由于BD⊥AC
所以D的对称点恰好是B,连接BE ,那么BE与AC的交点P就是要找的点.
所以PD+PE的和最小恰好等于BE=√10
∴PD+PE的最小值为√10
BE与AC的交点即为所求的P点。 如图,作E关于AC的对称点E',连接PE、PD,EE'与AC的交点为F 则AC是EE'的垂直平分线 先证明D、P、E'三点共线 ∵∠ABE=60°,∠BAC=45°,∴∠BPA=180°-60°-45°=75° ∴∠EPF=∠BPA=105°,∴∠PEF=90°-∠EPF=15° ∴∠BPE'=∠E'+∠PEF=2∠PEF=30° ∵AB=AD、∠BAC=∠DAC=45°,AP为公共边,∴△BAP≌△DAP ∴∠DPA=∠BPA=75° ∴∠BPE'+∠BPA+∠DPA=30°+75°+75°=180°,∴D、P、E'三点共线 在AC上另取一点P',连接P'D、P'E' ∵AC是EE'的垂直平分线,∴P'E=P'E' ∴P'E+P'D=P'E'+P'D 在△P'DE'中,有P'D+P'E'>DE'(两边之和大于第三边) ∴P'E+P'D>DE'=DP+EP ∴P是使PD+PE的和最小的点