设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 05:30:53
![设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间](/uploads/image/z/8771907-3-7.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%282-a%29lnx%2B1%2Fx%2B2ax%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AE%BEg%28x%29%3Df%28x%29-1%2Fx%2C%E5%9C%A8%5B1%2C%2B%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%89%E4%B8%8A%E5%8D%95%E5%A2%9E%E9%80%92%E5%A2%9E%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93a%E4%B8%8D%E7%AD%89%E4%BA%8E0%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%EF%BC%88X%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%8D%95%E5%A2%9E%E5%8C%BA%E9%97%B4)
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设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围
(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间
(1) g(x)在[1,+∞)上单增,则g'(x)=f'(x)+1/x²≥0,即f'(x)≥-1/x²,
由于x∈[1,+∞),则-1/x²∈[-1,0),故f'(x)≥0
f'(x)=(2-a)/x-1/x²+2a=[2ax²+(2-a)x-1]/x²=(2x-1)(ax+1)/x²≥0,
由于x>1,则x²>0,2x-1>0
故当x>1时,ax+1≥0恒成立,即a≥-1/x²
ⅰ当a≥0时,显然成立.
ⅱ当a<0时,-1/x²∈[-1,0),则a≥0,与假设不符故舍去.
(2) 由f(x)定义域知x>0,则x²>0
令f'(x)≥0,则有(2x-1)(ax+1)≥0
ⅰ当a<0时,
①a<-2时,-1/a<1/2,单增区间为(-1/a,1/2)
②-2<a<0时,1/2<a<-1/a,单增区间为(1/2,-1/a)
③当a=-2时,f'(x)=-(2x-1)²/x²≤0,单增区间为∅
ⅱ当a>0时,-1/a<1/2,故x<-1/a或x>1/2,又知x>0,故单增区间为(0,1/2)