作业帮点P在直线2x+y+10=0上,PA、PB与圆X的平方加y的平方等于4分别相切于A、B两点,则四边形PAOB的圆面积的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 20:12:04
点P在直线2x+y+10=0上,PA、PB与圆X的平方加y的平方等于4分别相切于A、B两点,则四边形PAOB的圆面积的最小值为
点P在直线2x+y+10=0上,PA、PB与圆X的平方加y的平方等于4分别相切于A、B两点,则四边形PAOB的圆面积
的最小值为
点P在直线2x+y+10=0上,PA、PB与圆X的平方加y的平方等于4分别相切于A、B两点,则四边形PAOB的圆面积的最小值为
x^2+y^2=5 （1）
x^2+y^2-x+y-2=0 （2）
两式相减得 x-y=3代入（1）
得y=-1和y=-2
再求得x值,得两圆交点A(2,-1) B(1,-2),求得AB中点M(3/2,-3/2),AB斜率k=1,
所以OM斜率为-1,直线OM方程(y+3/2)=-(x-3/2) 化简得y=-x (3)
又圆心过直线3x+4y-1=0 (4)
(3)和（4）得x=-1,y=1,即O(-1,1)
求得半径平方=|AO|^2=|BO|^2=13,
所以圆方程为(x+1)^2+(y-1)^2=13
四边形PAOB的面积=2Rt△PAO的面积=2×(1/2)|PA||OA|=2|PA|,
四边形PAOB的面积的平方=4|PA|^2=4(|PO|^2-|OA|^2)=4|PO|^2-16
∴`当PO⊥`直线L: 2X+Y+10=0时,|PO|最小,四边形PAOB的面积的平方最小,
∴`PO到L的距离=2√5,
四边形PAOB的面积的平方最小值=4(2√5)^2-1...
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四边形PAOB的面积=2Rt△PAO的面积=2×(1/2)|PA||OA|=2|PA|,
四边形PAOB的面积的平方=4|PA|^2=4(|PO|^2-|OA|^2)=4|PO|^2-16
∴`当PO⊥`直线L: 2X+Y+10=0时,|PO|最小,四边形PAOB的面积的平方最小,
∴`PO到L的距离=2√5,
四边形PAOB的面积的平方最小值=4(2√5)^2-16=64,
∴`四边形PAOB的面积的最小值=8
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