已知,如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F,求证:BF=AC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 06:38:36
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已知,如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F,求证:BF=AC
已知,如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F,求证:BF=AC
已知,如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点F,求证:BF=AC
分析:
由已知条件“∠ABC=45°,CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质知:∠DCB=∠ABC=45°、DB=DC;然后由已知条件“BE⊥AC”求证∠ABE=∠ACD;再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC,从而得出BF=AC.
证明:∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠CDA=90°;
∵∠ABC=45°,
∴∠DCB=∠ABC=45°(三角形的内角和定理),
∴DB=DC(等角对等边);
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠A+∠ABE=90°(直角三角形的两个锐角互为余角);
∵∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD(同角的余角相等);
在△BDF和△CDA中,
∠BDC=∠CDA
DB=DC
∠ABE=∠ACD,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC(全等三角形的对应边相等).
证明:∵CD⊥AB,且∠ABC=45°
∴BD=CD
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDC=∠AEB=90°
同时:∠ABE=∠ABE
∴△BDF∽△ADE
∴∠A=∠DFB
∴△BDF≌△ACD(角角边定理)
可证明:BF=AC