作业帮求y=x-1分之x的平方的最小值y=x²/x-1的最小值分母是x-1 分子式x²
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 21:50:22
求y=x-1分之x的平方的最小值y=x²/x-1的最小值分母是x-1 分子式x²
求y=x-1分之x的平方的最小值
y=x²/x-1的最小值
分母是x-1 分子式x²
求y=x-1分之x的平方的最小值y=x²/x-1的最小值分母是x-1 分子式x²
y=x²/(x-1)
令x-1=t,则：x=t+1
y=(t+1)²/t
=(t²+1+2t)/t
=t+1/t+2
令h(t)=t+1/t
该函数是对勾（耐克）函数,易得：h(t)∈(-∞,-2]U[2,+∞)
所以,t+1/t+2∈(-∞,0]U[4,+∞)
所以,y∈(-∞,0]U[4,+∞)
ps：题目应该有给出x>1吧
若x>1,则y≧4,即y的最小值为4
如果没有给出x>1,y是没有最小值的
∵y=x²/x-1 x≠1
∴x²-yx﹢y=0
y﹙y-4﹚≧0
∴y≧0 y最小=4
解法一：
y＝x²/(x－1)
＝(x²－1＋1)/(x－1)
＝[(x＋1)(x－1)＋1]/(x－1)
＝x＋1＋1/(x－1)
＝x－1＋1/(x－1)＋2
≧2√(x-1)*1/(x-1)＋2
＝4 （当且仅当x＝2时等号成立）
但是运用这个基本不等式有条件，x－1＞0，即x＞1.
解法二：
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解法一：
y＝x²/(x－1)
＝(x²－1＋1)/(x－1)
＝[(x＋1)(x－1)＋1]/(x－1)
＝x＋1＋1/(x－1)
＝x－1＋1/(x－1)＋2
≧2√(x-1)*1/(x-1)＋2
＝4 （当且仅当x＝2时等号成立）
但是运用这个基本不等式有条件，x－1＞0，即x＞1.
解法二：
y＝x²/(x－1)
y'＝[2x(x-1)－x²]/(x－1)²
＝(x²－2x)/(x－1)²
令y'＝0，得x＝0或x＝2
当x∈(-∞，0)∪(2，＋∞)时，y'＞0，所以y递增！
当x∈[0，1)∪(1，2]时，y'＜0，所以y递减！
还是要对x的范围进行限制，否则只有极大值极小值，没有最大值最小值！
若x＞1，则ymin＝y（2）＝4
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