已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x²＋y²＝10相交于点P（3,-1）,若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求该双曲线的方程.

已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x²＋y²＝10相交于点P（3,-1）,若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求该双曲线的方程.
已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x²＋y²＝10相交于点P（3,-1）,若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求该双曲线的方程.

已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x²＋y²＝10相交于点P（3,-1）,若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求该双曲线的方程.
答：
点P为（3,-1）,OP斜率k=-1/3
则点P处圆O的切线斜率k=-1/(-1/3)=3
所以：双曲线的渐近线之一为y=3x
所以：双曲线的另外一条渐近线为y=-3x
所以：渐近线为y=±3x=±(b/a)x
所以：b/a=3,b=3a
1）
焦点在x轴上时：
x²/a²-y²/(9a²)=1经点P(3,-1),代入得：
9/a²-1/(9a²)=1
解得：a²=80/9
双曲线为：9x²/80-y²/80=1
2）
焦点在y轴上时：
y²/(9a²)-x²/a²=1经过点P(3,-1),代入得：
1/(9a²)-9/a²=1
解得：a²=-9/80不符合
综上所述,双曲线为：9x²/80-y²/80=1