一道向量证明题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 18:03:43
一道向量证明题
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一道向量证明题
一道向量证明题

一道向量证明题
考虑3维向量:u = (a1,a2,a3),v = (b1,b2,b3).
则||u|| = √(a1²+a2²+a3²),||v|| = √(a1²+a2²+a3²),且二者内积u·v = a1b1+a2a2+a3b3.
1) 当u或v为零向量时,易见不等式两边都得0,等号成立.
2) 当u,v都不为零向量时,记二者夹角为θ,有内积的定义式:u·v = ||u||·||v||·cos(θ).
因此所证不等式等价于||u||·||v|| ≥ |u·v| = ||u||·||v||·|cos(θ)|,
等价于|cos(θ)| ≤ 1 (u,v都不为零向量),显然成立.
等号成立当且仅当|cos(θ)| = 1,对应u,v方向相同或相反,
即存在非零实数k,使v = ku.
将两种情况合并知等号成立当且仅当向量u // v.
用a1,a2,a3,b1,b2,b3描述就是a1 = a2 = a3 = 0或存在实数k使b1 = ka1,b2 = ka2,b3 = ka3.

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