证明以椭圆x^/a^2+y^2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 13:51:44
证明以椭圆x^/a^2+y^2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?
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证明以椭圆x^/a^2+y^2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?
证明以椭圆x^/a^2+y^2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?

证明以椭圆x^/a^2+y^2=1(a>1)的短轴的一个端点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形有多少个?
解析几何固然可解,但麻烦,下面提供一个新思路：
（下面是分析过程,其实如果熟练的话只需要直接求得下述的a^2=3即知,所有运算不需要开方,虽然看着次数很高）
假设：四个顶点为ABCD,A在最上方,逆时针
则坐标分别为(0,1)(-a,0),(0,-1)(a,0)
以A为圆心作圆,半径为r,方程为x^2+(y-1)^2=r^2
求圆与椭圆有交点的r最大值
可得r^2=a^4/(a^2-1)
同时x^2=a^4(a^2-2)/(a^2-1)^2
y=1/(1-a^2),其实不需要知道,但肯定只有一个值,因为左右对称
设两交点有E、F,则线段EF为2|x|,所以EF^2=4x^2
现在AE^2=AF^2=r^2
三角形三边都知道,利用勾股定理讨论 AE^2+AF^2与EF^2间的关系
可得
a^2=3时 EAF为直角
a^2>3时 EAF为钝角
a^2

有三个，通过解析几何，建立两个斜率相乘是-1，的两条直线，然后通过他们是等腰三角形，求的斜率k的值，就可以 看有几个了，要根据a 来讨论吧