设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 15:17:37
设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离
设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离
设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离
过P作PC⊥L交L于C.
∵PA⊥平面α,∴AC是PC在平面α上的射影,又PC⊥L,∴由三垂线定理的逆定理,有:
AC⊥L.
∵PB⊥平面β,∴BC是PC在平面β上的射影,又PC⊥L,∴由三垂线定理的逆定理,有:
BC⊥L.
由AC⊥L、BC⊥L,得:∠ACB是二面角α-L-β的平面角,∴∠ACB=60°.
由锐角三角函数定义,有:sin∠PCB=PB/PC=2/PC、sin∠PCA=PA/PC=4/PC.
∵∠ACB=60°,∴∠PCB、∠PCA都是锐角,
∴cos∠PCB=√[1-(sin∠PCB)^2]=√(1-4/PC^2),
cos∠PCA=√[1-(sin∠PCA)^2]=√(1-16/PC^2).
又cos∠ACB=cos(∠PCB+∠PCA)=cos∠PCBcos∠PCA-sin∠PCBsin∠PCA=cos60°,
∴[√(1-4/PC^2)][√(1-16/PC^2)]-(2/PC)(4/PC)=1/2.
令4/PC^2=x,则:[√(1-x)][√(1-4x)]-2x=1/2,
∴[√(1-x)][√(1-4x)]=2x+1/2,
两边平方,得:(1-x)(1-4x)=4x^2+2x+1/4, ∴1-5x+4x^2=4x^2+2x+1/4,
∴7x=1-1/4=3/4, ∴x=3/28, ∴4/PC^2=3/28, ∴PC^2=4×28/3, ∴PC=4√21/3.
即点P到直线L的距离为 4√21/3.