作业帮在RT△ABC中,∠C=90°,AB=5,已知两条直角边AC=BC(BC>AC)的长是关于x的方程x的平方-（m+5）x+6m=0的两个实数根,求m的值及AC、BC的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 18:23:00
在RT△ABC中,∠C=90°,AB=5,已知两条直角边AC=BC(BC>AC)的长是关于x的方程x的平方-（m+5）x+6m=0的两个实数根,求m的值及AC、BC的长.
在RT△ABC中,∠C=90°,AB=5,已知两条直角边AC=BC(BC>AC)的长是关于x的方程x的平方-（m+5）x+6m=0的两个实数根,求m的值及AC、BC的长.
在RT△ABC中,∠C=90°,AB=5,已知两条直角边AC=BC(BC>AC)的长是关于x的方程x的平方-（m+5）x+6m=0的两个实数根,求m的值及AC、BC的长.
AC²+BC²=AB²=25
AC、BC长是方程两根,根据韦达定理AC+BC=m+5,AC×BC=6m
AC²+BC²
=（AC+BC）²-2AC×BC
=(m+5)²-2×6m
=m²+10m+25-12m
=m²-2m+25
所以m²-2m+25=25,m²-2m=0.m1=2,m2=0
当m=2时,方程为x²-7x+12=0,AC=x1=3,BC=x2=4
当m=0时,方程为x²-5x=0.x1=5,x2=0.因为边长不能为0,故舍去
令c=AB=5
AC=b,BC=a
a>b
由韦达定理
a+b=m+5
ab=6m
所以(a+b)^2-2ab=(m+5)^2-12m=m^2+10m+25-12m=m^2-2m+25
(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2=m^2-2m+25
由勾股定理
a^2+b^2=c^2=25
...
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令c=AB=5
AC=b,BC=a
a>b
由韦达定理
a+b=m+5
ab=6m
所以(a+b)^2-2ab=(m+5)^2-12m=m^2+10m+25-12m=m^2-2m+25
(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2=m^2-2m+25
由勾股定理
a^2+b^2=c^2=25
所以m^2-2m+25=25
m(m-2)=0
m=0,m=2
若m=0,x^2-5x=0,x(x-5)=0,a=5,b=0,边长=0，不成立
m=2,x^2-7x+12=0,(x-4)(x-3)=0,a=4,b=3,成立
所以
m=2
AC=3,BC=4
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