作业帮四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 13:54:25
四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN
四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN
四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N.求证AM=MN
证明：连接AC,AN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN
证明：连接AC，AN ∵CN平分∠ECD，∠ECD=90度 ∴∠DCN=∠ECN=45度 又AC是正方形ABCD的对角线 从而∠ACD=45度 ∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度 又 MN⊥AM 从而∠AMN=90度 ∴A，M，C，N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形...
全部展开
证明：连接AC，AN ∵CN平分∠ECD，∠ECD=90度 ∴∠DCN=∠ECN=45度 又AC是正方形ABCD的对角线 从而∠ACD=45度 ∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度 又 MN⊥AM 从而∠AMN=90度 ∴A，M，C，N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧,若其两 顶角为直角，即这四个点共圆) 得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角) ∴△AMN为等腰直角三角形 ∴AM=MN 追问 这是初一的学生，你说的四点共圆还没学过？只学了三角形全等。有其它的解法吗？谢谢! 回答 证明：连接AC 设AC与MN相交于G点 过M点作MF//AC 则 ∠BFM=∠BAC=45度 又 CN是∠ECD的平分线 从而 ∠ECN=45度 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴△FBM也是等腰直角三角形 从而 BF=BM 又 AF=AB-BF,MC=BC-BM 而 AB=BC ∴AF=MC ① ∵∠FAM=∠FBAC=90度-∠AMB，∠CMN=180度-∠AMN-∠AMB=180度-90度-∠AMB=90度-∠AMB ∴∠FAM=∠CMN ② 又 ∠BFM=45度=∠FAM+∠AMF,∠ECN=45度=∠CMN+∠MNC 则 ∠AMF=45度-∠FAM, ∠MNC=45度-∠CMN 又 ∠FAM=∠CMN ∴∠AMF=∠MNC ③ 由①②③得 △AFM≌△MNC(角，角，边) ∴AM=MN(全等三角形对应边相等).
收起