角AOB=30度,点P位于角AOB内,OP=3,点M,N分别是射线OA,OB上的动点,求三角形PMN最小周长

角AOB=30度,点P位于角AOB内,OP=3,点M,N分别是射线OA,OB上的动点,求三角形PMN最小周长
角AOB=30度,点P位于角AOB内,OP=3,点M,N分别是射线OA,OB上的动点,求三角形PMN最小周长

角AOB=30度,点P位于角AOB内,OP=3,点M,N分别是射线OA,OB上的动点,求三角形PMN最小周长
要回答这个问题先要猜出你说的是什么

解:取点P关于OA的对称点P1;点P关于OB的对称点P2.
连接P1P2,交OA于M,交OB于N.此时PM+MN+PN最小!
连接P1O,PO,P2O.
则OP1=OP=OP2;∠P1OA=∠POA,∠P2OB=∠POB.
即∠P1OA+∠P2OB=∠POA+∠POB=30°,故∠P1OP2=60°.
所以三角形P1OP2为等边三角形,得PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2=P1O=PO=3.

PN+MN+MQ的最小值是5
在∠AOB的OA一侧做∠XOA=30°，在∠AOB的OB一侧做∠YOB=30°，显然∠XOY=90°
在OX取点R，使得OR=OQ=4，在OY上取点S，使得OS=OP=3。根据勾股定理，RS=5
根据三角形全等，很容易证明MR=MQ，NP=NS，于是PN+MN+MQ=RM+MN+NS，根据两点之间直线最短，可知PN+MN+MQ>=RS=5...

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PN+MN+MQ的最小值是5
在∠AOB的OA一侧做∠XOA=30°，在∠AOB的OB一侧做∠YOB=30°，显然∠XOY=90°
在OX取点R，使得OR=OQ=4，在OY上取点S，使得OS=OP=3。根据勾股定理，RS=5
根据三角形全等，很容易证明MR=MQ，NP=NS，于是PN+MN+MQ=RM+MN+NS，根据两点之间直线最短，可知PN+MN+MQ>=RS=5
当M取RS和OA的交点，N取RS和OB的交点时PN+MN+MQ具有最小值

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补充楼上的 之前证明了CD是4 那么因为三角形PMC 和三角形PND 是等腰三角形（他们为什么是等腰三角形不用我说吧。。\(^o^)/~） 。。。然后有 CD=CM+MN+ND=PM+MN+NP 即CD的长就是三角形PMN的周长 所以周长也是4

要回答这个问题先要猜出你说的是什么

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过P作OA轴对称点D，过P作OB轴对称点C，
连CD，交OA于M，交OB于N，
易证：△DOM≌△POM，△CON≌△PON（S，A，S），
由PM=DM，PN=CN，
∴△PMN周长最短，PM+PN+MN=CD。
由∠DOA=∠POA，∠COB=∠POB，
∴∠COD=30°×2=60°，
由DO=PO，PO=CO，∴DO=CO
即...

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过P作OA轴对称点D，过P作OB轴对称点C，
连CD，交OA于M，交OB于N，
易证：△DOM≌△POM，△CON≌△PON（S，A，S），
由PM=DM，PN=CN，
∴△PMN周长最短，PM+PN+MN=CD。
由∠DOA=∠POA，∠COB=∠POB，
∴∠COD=30°×2=60°，
由DO=PO，PO=CO，∴DO=CO
即△COD是等边三角形，CD=PO=8.

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这道题我的解题方法是这样的：
以OB为x轴，垂直与OB为y轴，建立直角坐标系，设ON=b，OM=a，
则N(b,0)，M(a√3/2,a/2)，P(m,√(3-m^2))，
则可得：PM=(a√3/2-m,a/2)，PN=(b-m,-√(3-m^2))，MN=(b-m,-√(3-m^2))
则|PM|+|PN|+|MN|=(由坐标化成模的方法你应该知道吧，不方便书写...

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这道题我的解题方法是这样的：
以OB为x轴，垂直与OB为y轴，建立直角坐标系，设ON=b，OM=a，
则N(b,0)，M(a√3/2,a/2)，P(m,√(3-m^2))，
则可得：PM=(a√3/2-m,a/2)，PN=(b-m,-√(3-m^2))，MN=(b-m,-√(3-m^2))
则|PM|+|PN|+|MN|=(由坐标化成模的方法你应该知道吧，不方便书写就省了。)
这个式子是个含有a,b,m的三元根式函数，我实在不知道再怎么求下去了。
因为OP你只给了长度，没给角度，所以m值无法有个确定的数字。
即使有，它还是一个2元函数，基本还是没法求所以这种办法行不通了。
这里仅仅只是提供一个思路，这道题不简单。不行的话，另请高手吧！

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