在边长a的正三角形的三个角上剪下三个全等的四边形做成无盖的正三棱柱,剪下的面积之和等于多少时容积最大

在边长a的正三角形的三个角上剪下三个全等的四边形做成无盖的正三棱柱,剪下的面积之和等于多少时容积最大
在边长a的正三角形的三个角上剪下三个全等的四边形做成无盖的正三棱柱,剪下的面积之和等于多少时容积最大

在边长a的正三角形的三个角上剪下三个全等的四边形做成无盖的正三棱柱,剪下的面积之和等于多少时容积最大
如图：设正三棱柱高为x,无盖的正三棱柱容积：
V＝（√3/4）（a-2√3x）²x
＝3√3x³-3ax²+（√3/4）a²x
V′＝9√3x²-6ax+（√3/4）a²
V〃＝18√3x-6a.
V′=0,得到x1＝a/（2√3）.x2＝a/（6√3）
V〃|X1＝3a＞0.V|x1为0最小（请楼主自己验证!）
V〃|x2＝-3a＜0.V有最大值.此时剪下的面积S＝3√3（x2）²＝√3a²/36.

按题意,
设正三棱柱的底棱为b,
高为h(也是被剪下的四边形的边长),
被剪下的四边形的另一边长为c,
有:a=b+2*c
有:c=h/tg30度
化简上两式有:h=[(a-b)*tg30度]/2
正三棱柱体积V=S*h
=[(b^2*cos30度)/2]*[(a-b)*tg30度]/2
...

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按题意,
设正三棱柱的底棱为b,
高为h(也是被剪下的四边形的边长),
被剪下的四边形的另一边长为c,
有:a=b+2*c
有:c=h/tg30度
化简上两式有:h=[(a-b)*tg30度]/2
正三棱柱体积V=S*h
=[(b^2*cos30度)/2]*[(a-b)*tg30度]/2
=b^2*(a-b)/8
对上方程求极值得：当b=a*2/3时,V有最大值a^3/54
被剪下的四边形的面积S1=h*c
=h^2/tg30度
={[(a-b)*tg30度]/2}^2/ tg30度
={[(a- a*2/3)*tg30度]/2}^2/ tg30度
=(a^2* tg30度)/36
被剪下的3个四边形的面积之和=3* S1
=(a^2* tg30度)/12
=a^2* 根号3/36
≈0.048112522* a^2

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