定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1);⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 06:39:14
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定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1);⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1);⑵
若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1);⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
1.令f(x^y)=yf(x)中y=0,可得:f(1)=0.
2.令f(x^y)=yf(x)中,y=log(x^t) (以x为低,t的对数),可得:f(t)=log(x^t)f(x) (1式),令1式中t=a,x=b得:f(a)=log(b^a)f(b),同理可得:f(c)=log(b^c)f(b),两式相乘:f(a)f(c)=log(b^a)log(b^c)[f(b)]^2=lnalnc[f(b)]^2/(lnb)^2(由均值不等式,a不等于c)<0.25(lna+lnc)^2[f(b)]^2/(lnb)^2=0.25(ln(b^2))^2[f(b)]^2/(lnb)^2=[f(b)]^2,即:f(a)f(c)<[f(b)]^2.
3.由1式:f(t)/lnt=f(x)/lnx(这里为推导出结论忽略了分母无意义的点),它的意义就是对于定义域内,有意义的t,x,均有f(t)/lnt=f(x)/lnx,即它们的比例为常数,假设f(t)/lnt=f(x)/lnx=k,所以,1式可化为:f(t)=klnt,即f(x)的函数解析式为:f(x)=klnx(其中k为一常数),根据条件f(0.5)<0,可知:f(0.5)=kln0.5<0,k>0,所以f(x)在定义域(0,+∞)内位增函数.