求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/04 13:55:50
求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解
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求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解
求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解

求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解
应该是y″-4y′+4y=e∧2x吧?
解法如下：y″-4y’+4y=e∧2x 为二阶常系数非齐次线性线性微分方程 ,其中λ=2
其特征方程为：r2-4r+4=0 解得：r1=r2=2
故与原微分方程对应的齐次线性微分方程的通解为：Y=（C1+C2x）e2x
因为λ=2是特征方程的双根,所以应设y*=ax2e2x
则y*′=2axe2x+2ax2e2x y*″=2ae2x+8axe2x+4ax2e2x
代入原方程解得a=1/2 因此求的一个特解为：y*= ½x2e2x
故所求通解为：y=(C1+C2x)e2x+ ½x2e2x
你看对不对,

y''-4y+4y=0的特征根：2,2
因为2是二重根，特解y=Ax^2e^2x y'=2Axe^2x+2Ax^2e^2x y''=2Ae^2x+8Axe^2x+2Ax^2e^2x
代入可求出A
通解y=(C1+C2x)e^2x+Ax^2e^2x

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