作业帮已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点,与抛物线C的一个交点为B,若2AM向量=MB向量,则k=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 22:00:12
已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点,与抛物线C的一个交点为B,若2AM向量=MB向量,则k=?
已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点,与抛物线C的一个交点为B,若2AM向量=MB向量,则k=?
已知y^2=4x,过点M(1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C的准线相交于A点,与抛物线C的一个交点为B,若2AM向量=MB向量,则k=?
设准线l与x轴的交点为D
(1)、如果抛物线的准线x=-p/2在点M的左侧,也就是说：
当x=-p/2＜1即：p＞-2时：
|MD|=1+p/2
∵k=√3 ∴直线AB与x轴的夹角θ为π/3
∴|AD|=|MD|*tanθ=√3(1+p/2)
∵此时A点在第三象限
∴A(-p/2,-√3(1+p/2))
∵M为AB中点,设B(m,n)
∴(m-p/2)/2=1,[n-√3(1+p/2)]/2=0
∴m=2+p/2,n=√3(1+p/2)……①
∵B(m,n)在抛物线上,n²=2pm
∴将①代入,得到：[√3(1+p/2)]²=2p(2+p/2)
解得：p=2或者：p=-6
∵p＞-2 ∴舍去p=-6
故：p=2
(2)、如果抛物线的准线x=-p/2在点M的右侧,也就是说：
当x=-p/2＞1即：p＜-2时：
|MD|=-p/2-1
∵k=√3 ∴直线AB与x轴的夹角θ为π/3
∴|AD|=|MD|*tanθ=-√3(1+p/2)＞0
∵此时A点在第三象限
∴A(-p/2,√3(1+p/2))
∵M为AB中点,设B(m,n)
∴(m-p/2)/2=1,[n+√3(1+p/2)]/2=0
∴m=2+p/2,n=-√3(1+p/2)……②
∵B(m,n)在抛物线上,n²=2pm
∴将②代入,得到：[-√3(1+p/2)]²=2p(2+p/2)
解得：p=2或者：p=-6
∵p＜-2 ∴舍去p=2
故：p=-6
综合①、②两种情况,可以得到：
p=2或者：p=-6
k=±(√5)/2