在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 12:58:54
![在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值](/uploads/image/z/8951469-69-9.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E7%9F%A9%E5%BD%A2%2CM%2CN%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAPA%2CBC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CPD%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2C%E4%B8%94PD%3DAD%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2CCD%3D1.%281%29%E8%AF%81%E6%98%8EMN%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E9%9D%A2PCD%3B%282%29MC%E5%9E%82%E7%9B%B4BD%3B%283%29%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-PB-D%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC)
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1.(1)证明MN平行面PCD;(2)MC垂直BD;(3)求二面角A-PB-D的余弦值
(1)解析:∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直平面ABCD
过M作ME⊥AD交AD于E,∴E为AD的中点
∴EN//AB//CD,EN⊥AD,面MEN⊥面ABCD,
又面PDC⊥面ABCD,∴面PDC//面MEN==>MN//面PDC
(2)∵PD=AD=√2,CD=1
连接EC,BD交于F
在Rt⊿EDC中,∠EDC=π/2,∴tan∠DEC=DC/DE=√2
在Rt⊿DAB中,∠DAB=π/2,∴tan∠DBA=AD/AB=√2
∴∠DBA=∠DEC
又∠DBA+∠ADB=π/2,∴∠DEC+∠ADB=π/2==>∠DFE=π/2,即EC⊥BD
又EC为MC在面ABCD中的射影,∴MC⊥BD
(3)过D作DG⊥PB交PB于G,过A作AH⊥PB交PB于H
过G作GS//AH交PA于S
∴∠SGD为二面角A-PB-D的平面角
由Rt⊿ABD中求出BD=√3
由Rt⊿PBD中求出PB=√5,PG=2√5/5,DG=6/5
由Rt⊿PAB中求出BH=√5/5,AH=2√5/5
由⊿PAH∽⊿PSG
得出SG/AH=PG/PH
PH=4√5/5,∴SG/AH=PG/PH=1/2==>SG=AH/2=√5/5
∴M与S重合
∵⊿PAD为Rt⊿,PA=2,∴DS=DM=1
由余弦定理cos∠SGD=(DG^2+GS^2-DS^2)/(2DG*GS)
=(36/25+1/5-1)/(2*6/5*√5/5)=4√5/15
∴二面角A-PB-D的余弦值为4√5/15