如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 17:33:02
![如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.](/uploads/image/z/8964647-71-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92BAC%3D60%2CAB%3D2AC.%E7%82%B9P%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E5%86%85%2C%E4%B8%94PA%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B73%2CPB%3D5%2CPC%3D2%2C%E5%88%99%E8%A7%92APC%E7%9A%84%E5%BA%A6%E6%95%B0%E4%B8%BA_____%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BA______.)
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
如图,三角形ABC中,角BAC=60,AB=2AC.点P在三角形ABC内,且PA=根号3,PB=5,PC=2,则角APC的度数为_____,三角形ABC的面积为______.
1.首先证明△ABC是直角三角形.
假设BC与AC不垂直,则过点B作BD⊥AC交直线AC与点D
∵∠A=60°(已知)
∴AB=2AD(直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半)
∵AB=2AC(已知)
∴AC=AD(等量代换)
这与直线外一点与直线上各点所连成的所有线段中,垂线段最短相矛盾,所以假设错误,即AC、AD两线重合.
∴BC⊥AC
即△ABC为直角三角形.(直角三角形定义).
2.作全等△AP1C关于直线AC与△APC全等.△BP2C关于直线BC与△BPC全等..△BP3A关于直线AB与△BPA全等..
则,∠P2BP3=2∠B=60°,∠P1AP3=2∠A=120°.∠P2CP1=2∠C=180°,所以点P2,P1,C 在同一直线上.
依次连接点A,P1,C,P2,B,P3,A.得到一个凸五边形.且五边形的面积是△ABC的二倍.连接P1,P2,P3,.易得P2P3=BP2=BP=5,P1P2=P1C+P2C=2PC=4,由△AP1P3为等腰△(因为AP3=AP1),且求得∠P1AP3=2∠A=120°.所以S△P1AP3=3√3/4,且P3P1=3,
进一步求得(3,4,5 为勾股数)△P1P2P3为直角△.
易求S△P2BP3=25√3/4,S△P1P2P3=6.
所以S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6
所以△ABC=3+7√3/2.
如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,
则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2
于是,AQ=2 AP=2,BQ=2CP=4
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°
由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900
于是,PQ=AP=3
∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而...
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如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,
则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2
于是,AQ=2 AP=2,BQ=2CP=4
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°
由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900
于是,PQ=AP=3
∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900
作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知
∠AQM=600,QM=,AM=3,于是,
∴AB2=BM 2+AM 2 =(4+) 2+32=28+8
故S△ABC=AB•ACsin600=AB 2=
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