作业帮求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 23:27:53
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
求函数f(x)=5根号3cos^2x+根号3sin^2x-4sinxcox(兀/4≦x≦7兀/24)的最小值,并求其取得最小值时x的值.(函数要化成sin的形式)
(sqrt是开方)f(x) = 5sqrt(3) [cos(2x)]^2 + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 4sin(x)cos(x),由于 [cos(2x)]^2 + [sin(2x)]^2 = 1,且 2sin(x)cos(x) = sin(2x),故= 5sqrt(3) {1-[sin(2x)]^2} + sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x)= -4sqrt(3) [sin(2x)]^2 - 2sin(2x) + 5sqrt(3),这是一个关于 sin(2x)的二次函数.对称轴为 sin(2x) = - 1/(4sqrt(3)), 但是考虑到角度 x 属于 (π/4, 7π/24],也就是2x 属于(π/2, 7π/12],那么 sin(2x) 属于 [ sin(75度), 1),这个区间在对称轴的右侧,于是函数是关于 sin(2x)单调递减的（注意开口向下）.又由于sin(2x)是关于x单调递减的（第二象限）,所以函数 f 是关于x单调递增的.函数的最小值在左端点 x = π/4取到,此时 f(x) = sqrt(3) - 2；如果你的左端点不包括 π/4,那么函数没有最小值.函数的最大值在右端点 x = 7π/24取到,此时 f(x) = -4sqrt(3) [sin(75度)]^2 - 2sin(75度) + 5sqrt(3),由于sin(75) = sin(30+45) = sqrt(2)/2 (1/2 + sqrt(3)/2),代入即可得到函数最大值为：3sqrt(3) - (sqrt(6) + sqrt(2))/2 - 3.
参考 百度知道