a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.

a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.

a,b,c,m,k∈R,a^2+b^2+c^2=m,求S=a+b+c+kabc的取值范围.
当k>0时,由均值易证.当k

本来想了个模型，在球内找一个内接四边形，寻找周长加k'倍的体积的最值。
暂时然后没啥想法。
还是纯暴力咯，用拉格郎日数乘法（暴力万能的不等式题做法^_^），可以得到非常简单的结果，也就是abc相等的情况下，取极值，然后找端点值代入比较即可。
现在在上课，你觉得这种方法可以接受，我回去给你详细的过程。...

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本来想了个模型，在球内找一个内接四边形，寻找周长加k'倍的体积的最值。
暂时然后没啥想法。
还是纯暴力咯，用拉格郎日数乘法（暴力万能的不等式题做法^_^），可以得到非常简单的结果，也就是abc相等的情况下，取极值，然后找端点值代入比较即可。
现在在上课，你觉得这种方法可以接受，我回去给你详细的过程。

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a^2+b^2+c^2=m 2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2 即：3m≥（a+b+c）²
-√（3m）≤ a+b+c ≤√（3m）
a^2=b^2=c^2=m/3 a=b=c=±√（3m）/3 故：-...

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a^2+b^2+c^2=m 2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2 即：3m≥（a+b+c）²
-√（3m）≤ a+b+c ≤√（3m）
a^2=b^2=c^2=m/3 a=b=c=±√（3m）/3 故：-[√（3m）/3 ]^3≤abc≤[√（3m）/3 ]^3
即：- m√（3m）/9≤abc≤m√（3m）/9
- km√（3m）/9≤kabc≤km√（3m）/9 (k＞0时)
- (km+9)√（3m）/9≤a+b+c+kabc≤(km+9)√（3m）/9
即：- (km+9)√（3m）/9 ≤ S ≤ (km+9)√（3m）/9 (k＞0时)
祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

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彻底傻眼.........

想象一个模型，空间直角坐标系

没看懂的噻

这个我也不会啊 好像有点难

肥仔!

a^2+b^2+c^2=m ≥ 0
2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2
即：3m≥（a+b+c）²
-√（3m）≤ a+b+c ≤√（3m）
a^2=b^2=c^2=m/3
a=b...

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a^2+b^2+c^2=m ≥ 0
2a^2+2b^2+2c^2=2m
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
3a^2+3b^2+3c^2≥2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2
即：3m≥（a+b+c）²
-√（3m）≤ a+b+c ≤√（3m）
a^2=b^2=c^2=m/3
a=b=c=±√（3m）/3
故：-[√（3m）/3 ]^3≤abc≤[√（3m）/3 ]^3
即：- m√（3m）/9≤abc≤m√（3m）/9
k＞0时
- km√（3m）/9≤kabc≤km√（3m）/9
- (km+9)√（3m）/9≤a+b+c+kabc≤(km+9)√（3m）/9
即：- (km+9)√（3m）/9 ≤ S ≤ (km+9)√（3m）/9
k<0时
km√（3m）/9≤kabc≤-km√（3m）/9
(km-9)√（3m）/9≤a+b+c+kabc≤(-km+9)√（3m）/9
即：(km-9)√（3m）/9 ≤ S ≤ (-km+9)√（3m）/9
K=0时
kabc=0
s=a+b+c
即：-√（3m）≤ S ≤√（3m）

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（Ⅰ）∵ ，
∴ ，即 ，即 ．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin（A+ ），A∈（0， ），
∴sinA+sinB的取值范围为 ．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a...

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（Ⅰ）∵ ，
∴ ，即 ，即 ．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin（A+ ），A∈（0， ），
∴sinA+sinB的取值范围为 ．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有 ≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵= [c2sin2A（ccosA+c）+c2cos2A（csinA+c）+c2（csinA+ccosA）]
= [sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+令t=sinA+cosA，t∈ ，-----------------------------------------（10分）
设f（t）= =t+ =t+ =t-1+ +1．
f（t）=t-1+ +1，当t-1∈ 时 f（t）为单调递减函数，
∴当t= 时取得最小值，最小值为2+3 ，即k≤2+3 ．
∴k的取值范围为（-∞，2+3 ]．--------------------------（14分

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和公道话

不会...

设a^2>=b^2>=c^2
2bc<=2m/3=>t=bc<=m/3
S^2={a(1+kac)+(b+c)}^2<={(1+kac)^2+1}{a^2+(b+c)^2}
=(2+2kt+k^2t^2)(m+2t)
=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
令f(t)=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2...

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设a^2>=b^2>=c^2
2bc<=2m/3=>t=bc<=m/3
S^2={a(1+kac)+(b+c)}^2<={(1+kac)^2+1}{a^2+(b+c)^2}
=(2+2kt+k^2t^2)(m+2t)
=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
令f(t)=2k^2t^3+(mk^2+4k)t^2+(2mk+4)t+2m
f'(t)=6k^2t^2+2(mk+4)kt+(2mk+4)
当K=0时，则a+b+c∈[-sqrt(3m),sqrt(3m)]
当△=4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2>0时，
==>m^2k^2-4mk-8>0
令f‘(t)=0
t_1=[-2(mk+4)k+sqrt{4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2}]/12k^2
t_2=[-2(mk+4)k-sqrt{4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2}]/12k^2
然后像讨论根的分布一样讨论
当△=4(mk+4)^2k^2-24(2mk+4k)k^2<0时
===>m^2k^2-4mk-8<0
不想再算下去了
你自己算算...

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这货已经傻了...

值得学习下！！

我是过来学习的！！

这是几年级的题啊？我初二，不会

原式
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c-(a-b)][c+(a-b)](a+b-c)=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c^2-(a-b)^2](a+b-c)
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[c(a+b-c)+c^2-(a-b)^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+...

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原式
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c-(a-b)][c+(a-b)](a+b-c)=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c^2-(a-b)^2](a+b-c)
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[c(a+b-c)+c^2-(a-b)^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[ac+bc+2ab-a^2-b^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[a(b+c-a)+b(c+a-b)]
=a(b+c-a)[(b+c-a)+(a+b-c)]+b(c+a-b)[(c+a-b)+(a+b-c)]
=a(b+c-a)2b+b(c+a-b)2a
=2ab[(b+c-a)+(c+a-b)]
=2ab2c
=4abc
另
令a=0,得：M+N=0,知M+N含因式a，同理M+N含因式b、c，又因为M+N的最高次数为三，故M+N可表示成kabc的形式，其中k为待定系数，令a=b=c=1，代人M+N=kabc解得k＝4，可知M+N＝4abc

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讨论k的三种情况：
1、当k=0时，S=a+b+c，此时利用柯西不等式很容易得到(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3m>=(a+b+c)^2，所以-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m)，所以此时S的范围就是(-sqrt(3m)，sqrt(3m))
2、当k>0时，S=a+b+c+kabc，利用不等式性质中的“代数平均数>=几何平均数”，可以...

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讨论k的三种情况：
1、当k=0时，S=a+b+c，此时利用柯西不等式很容易得到(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3m>=(a+b+c)^2，所以-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m)，所以此时S的范围就是(-sqrt(3m)，sqrt(3m))
2、当k>0时，S=a+b+c+kabc，利用不等式性质中的“代数平均数>=几何平均数”，可以得到：(a^2+b^2+c^2)/3>=cube(a^2*b^2*c^2)（注：cube()这个符号是开立方根的意思，下面如果出现也是这个意思），化简得：-m*sqrt(3m)/9<=abc<=m*sqrt(3m)/9，当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候，abc取到最大值m*sqrt(3m)/9，a=b=c= -sqrt(3m)/3时，abc取到最小值-m*sqrt(3m)/9；再利用k=0时讨论的柯西不等式得到：-sqrt(3m)<=(a+b+c)<=sqrt(3m)，也是当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候，a+b+c取到最大值sqrt(3m)，a=b=c= -sqrt(3m)/3时，a+b+c取到最小值-sqrt(3m)；所以S的这两个部分取到最大值和最小值的条件都一样，那么可以合并起来：当且仅当a=b=c=sqrt(3m)/3的时候，S取到最大值sqrt(3m)*(mk/9+1)，a=b=c= -sqrt(3m)/3时，S取到最小值- sqrt(3m)*(mk/9+1)；这时S的范围就是(-sqrt(3m)*(mk/9+1)，sqrt(3m)*(mk/9+1))
补充说明：关于1中的柯西不等式和2中的不等式性质的证明请分别看以下两个网址：
http://baike.baidu.com/view/7618.htm
http://baike.baidu.com/view/441784.htm
3、当K<0时，S=a+b+c+kabc，这时情况比较复杂，我用的是多元函数微分中的拉格朗日乘数法来解，具体过程如下：
此时限制条件为a^2+b^2+c^2-m=0，要求最值的函数为F(a,b,c)=a+b+c+kabc (k<0)
作拉格朗日函数L(a,b,c,ƛ)=a+b+c+kabc+ ƛ(a^2+b^2+c^2-m)
通过函数L(a,b,c, ƛ)对a，b，c，ƛ分别求偏导，可以构造以下四个方程组成一个方程组：
δL/δa=1+kbc+2 ƛa=0
δL/δb=1+kac+2 ƛb=0
δL/δc=1+kab+2 ƛc=0
δL/δƛ=a^2+b^2+c^2-m=0
经过一番计算，可以算出有四个
(1)、a=b=c= sqrt(3m)/3或- sqrt(3m)/3 此时 ƛ=-(3sqrt(3m)-m*k*sqrt(3m))/2；而S=sqrt(3m)*(1+mk/9)（简写这个数为A）或sqrt(3m)*(1+mk/9)（简写这个数为B）
(2)、a=b=1/4*sqrt(m*(3+sqrt(3))或sqrt(m*(3-sqrt(3))/16)，c=1/2*sqrt(m*(5+sqrt(3))/2)或1/2*sqrt(m*(5-sqrt(3))/2)，此时ƛ=(-16-(3+sqrt(3))*m*k)/(8srqt(2(5-sqrt(3))))或(-16-(3-sqrt(3))*m*k)/(8srqt(2(5+sqrt(3))))；而S=1/4*sqrt(2m)*(sqrt(3+sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3)))+1/32*k*m*sqrt(m)*(3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))（简写这个数为C）或1/4*sqrt(2m)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3)))+1/32*k*m*sqrt(m)*(3+sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3)) （简写这个数为D）
现在就要比较不同情况下数A、B、C、D的大小了：
通过计算可以得到：①、A>C恒成立
②、当k<-9/m时，A>B
③、当φ1D
④、当φ2D
⑤、当φ3B
⑥、当φ4B
（注：以上各个分点均为计算出来的临界点，其中：
φ1=-32*(sqrt(11)-sqrt(3)-sqrt(2))/(m*((3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))-(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ2=-(sqrt(3)-1/4*sqrt(2)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5+sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)-1/32*(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ3=-(1/4*sqrt(2)*(sqrt(3-sqrt(3))+sqrt(5+sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)+1/32*(3-sqrt(3))*sqrt(5+sqrt(3))))
φ4=-(1/4*sqrt(2)*(sqrt(3+sqrt(3))+sqrt(5-sqrt(3))))/(m*(1/9*sqrt(3)+1/32*(3+sqrt(3))*sqrt(5-sqrt(3))))
φ1约为-1，φ2约为-4，φ3约为-10，φ4约为-6.8）
所以，画个数轴在简单推理一下，就可以得到结论了：
当0当φ4当φ3当k<φ3时，S的范围是(C，B)
补充说明：关于拉格朗日乘数法请看下面的网址：
http://baike.baidu.com/view/1211517.htm
PS：很有趣的一道题，花了我将近1个小时来做，又花了40多分钟来整理和写下过程，也许一开始还是因为LZ给的高分太诱人，然而当用拉格朗日乘数法暴力破解算了N久、在一堆根号里搞了半天以后，做出和做对这道题已经成为我的执着，希望LZ甭管采不采纳，至少认真的看一遍我的解题过程，如果有答案，请告诉我对还是错，错的话错在哪里，谢谢！

收起

我是来取经的~~

NB了，赶紧给那人分啊，帮你那么多

利用大学的条件极值看看吧

gfhkvc