已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围

已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围

已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
f '(x)=3x²-2ax+2a
令f '(x)≥0
3x²+2a(1-x)≥0
2a≤3x²/(x-1)(x-1>0)
令t=x-1
x=t+1
x²=t²+2t+1
(2/3)a≤t+1/t+2 在t∈(0,+∞)上恒成立,恒小就是左边的(2/3)a比右边的最小值还要小,
右边的最小值的求法如下：
t+1/t+2≥2√t·1/t+2=2+√2
a≤(2/3)(2+√2)

f(x)=x3－ax2+2ax－1，
∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在（1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2－2ax+2a≥0在（1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=3>0，
∴a≤3．
实数a的取值范围是（-∞，3]．
故填：（-∞，3]．...

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f(x)=x3－ax2+2ax－1，
∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在（1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2－2ax+2a≥0在（1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=3>0，
∴a≤3．
实数a的取值范围是（-∞，3]．
故填：（-∞，3]．

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