已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/01 06:00:14
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已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围
f '(x)=3x²-2ax+2a
令f '(x)≥0
3x²+2a(1-x)≥0
2a≤3x²/(x-1)(x-1>0)
令t=x-1
x=t+1
x²=t²+2t+1
(2/3)a≤t+1/t+2 在t∈(0,+∞)上恒成立,恒小就是左边的(2/3)a比右边的最小值还要小,
右边的最小值的求法如下:
t+1/t+2≥2√t·1/t+2=2+√2
a≤(2/3)(2+√2)
f(x)=x3-ax2+2ax-1,
∵f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)在(1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
即3x2-2ax+2a≥0在(1,+∞)上恒成立.
则必有≤1且f′(1)=3>0,
∴a≤3.
实数a的取值范围是(-∞,3].
故填:(-∞,3]....
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f(x)=x3-ax2+2ax-1,
∵f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)在(1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
即3x2-2ax+2a≥0在(1,+∞)上恒成立.
则必有≤1且f′(1)=3>0,
∴a≤3.
实数a的取值范围是(-∞,3].
故填:(-∞,3].
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