设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/20 09:32:31

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设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.
设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.

设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.
这个直接双向证明就行了.
证明: (A+B)^2=A^2+B^2+2AB
A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+2AB
AB+BA=2AB
BA = AB #

充分性：
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+2AB
必要性：
因为(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA，(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
所以AB=BA

充分性：
AB=BA
A^2+B^2+2AB=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+AB+BA=(A^2+AB)+(B^2+BA)=A(A+B)+B(B+A)=A(A+B)+B(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)^2;
必要性：
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A^2+B^2+AB+AB=A^2+B^2+2AB.
只有方阵才能取平方。

方阵性质证明问题设AB为n阶方阵,证明|AB|=|A||B| 设a,b均为n阶幂等方阵,且方阵e-a-b可逆,证明ra=rb 设A,B为n阶方阵,若AB=A+B,证明:A 设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA. 设A,B为N阶方阵,若A可逆,证明AB与BA相似设A,B为n阶方阵,且A为对称阵,试证明BTAB也是对称阵. 设A B都是n阶正交方阵,证明：A^-1,AB也是正交方阵设A和B为n阶方阵,A^2B+AB^2=E 证明A+B可逆设A,B为n阶方阵,证明：如果A*B=0 则R(A)+R(B) A、B喂n阶方阵,设A~B,证明:A^k~B^k(k为正整数) 设A,B均为n级方阵,A+B=AB.证明秩A=秩B 设n阶方阵A,B,A^-1+B^-1均为可逆,证明A+B可逆,并求（A+B)^-1. 设A,B为n阶方阵,满足A+B=BA证明A-E为可逆矩阵设A,B为n阶方阵,且AB＝0,证明:R(A)+R(B)小于等于n （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 设A B为N阶方阵,若AB=A+B,证明：A-E可逆,且AB=BA. 设n阶方阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵关于矩阵的数学题1 设A是n阶实对称矩阵,并且A*A=0 证明A=02 设A B C都是n阶方阵,证明如果B=E+AB C=A+CA 则B-C=E3 设A B 均为n阶方阵,且B=E+AB 证明 AB=BA4 设A B 均为n阶方阵,且B的行列式不等于0 （A+E)的逆