一道定积分计算题 lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dtx趋向于0积分区域是 0到xf(0)≠0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 15:16:23
一道定积分计算题 lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dtx趋向于0积分区域是 0到xf(0)≠0
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一道定积分计算题 lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dtx趋向于0积分区域是 0到xf(0)≠0
一道定积分计算题
lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dt
x趋向于0
积分区域是 0到x
f(0)≠0

一道定积分计算题 lim t乘以f(t)dt / x乘以f(t)dtx趋向于0积分区域是 0到xf(0)≠0
当x→0时,分母分子都趋于0
用洛比达法则求解
注意此时分子是变上限积分,它的导数为
[∫【0,x】tf(t)dt]'=xf(x)
分母是含参变量积分,它的导数为
[∫【0,x】xf(t)dt]'=∫【0,x】f(t)dt + xf(x)
当x→0时,如果f(x)可导,则此时分子分母的导数也都趋于0,再利用洛比达法则可得
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
[∫【0,x】f(t)dt + xf(x)]'=2f(x)+xf'(x)
于是原式=lim 【x→0】xf(x)/{∫【0,x】f(t)dt + xf(x)}
=lim 【x→0】[f(x)+xf'(x)]/[2f(x)+xf'(x)]
=1/2
前提f(x)导函数存在且连续时,结果为1/2

用罗比达法则。这是变上限定积分哪儿的一个知识点