若n是自然数,且（n^3-1)/5是一个质数,求n的值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 19:57:37
若n是自然数,且（n^3-1)/5是一个质数,求n的值
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若n是自然数,且（n^3-1)/5是一个质数,求n的值
若n是自然数,且（n^3-1)/5是一个质数,求n的值

若n是自然数,且（n^3-1)/5是一个质数,求n的值
(n-1)(n^2+n+1)
现在来思考,上式一定要能够整除5
所以其中一个因式=5m
m=多少呢.试想M若为一个素数或者合数,那么原式定然不是一个素数了,那么m就是一个既不是素数又不是合数的数,自然就是1
所以n-1=5或者n^2+n+1=5
又因为n是自然数,所以n只能=6
带入,算出为43,符合题意

对n，5作带余数除法，设n=5k+r，k≥0,0≤r≤4.
n^3-1
=(5k+r)^3-1
=(5k+r-1)[25k^2+5k(2r+1)+r^2+r+1]
=5k[25k^2+5k(2r+1)+r^2+r+1]+(r-1)[25k^2+5k(2r+1)]+(r-1)(r^2+r+1)
要使n^3-1是5的倍数，(r-1)(r^2+r+1)必须是5的倍...

全部展开

对n，5作带余数除法，设n=5k+r，k≥0,0≤r≤4.
n^3-1
=(5k+r)^3-1
=(5k+r-1)[25k^2+5k(2r+1)+r^2+r+1]
=5k[25k^2+5k(2r+1)+r^2+r+1]+(r-1)[25k^2+5k(2r+1)]+(r-1)(r^2+r+1)
要使n^3-1是5的倍数，(r-1)(r^2+r+1)必须是5的倍数，对于r=0,1,2,3,4只有r=1才行。
于是n=5k+1，将n代入
(n^3-1)/5=k(25k^2+15k+3),要使它是质数，k只能等于1，25k^2+15k+3=43的确是质数。
因此所求n值为n=5*1+1=6.

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