怎样手算开平方?

怎样手算开平方?
怎样手算开平方?

怎样手算开平方?
这样吧.
不等式法
以√6为例.稍加估算就知道 0√5>2.5-1/4/4
再平方,0196/80 -1/16/80即2.45√2 >2.449218
……每平方一次,小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位）,这是相当好的,可是你将要面对恐怖的天文数字.
另一种优化的方法:佩尔方程与渐近分数结合
上面的方法虽然简单,可是数字大,而且算出来的不是渐近分数,如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点.
以√5为例,考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解（x,y),x/y都是√5的渐近分数.
假设其中一组解是(x,y),再设x'-√5y'=(x-√5y)n,同样地x'/y'也是√5的渐近分数.
上面两条结论的证明在此略去.根据上面结论,而且不难找到9^2-5*4^2=1,于是
(9-4√5)^2=161-72√5,√5约等于161/72=2.236111
(161-72√5)^2=51841-23184√5,√5约等于51841/23184=2.2360679779158
从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数.如上面的51841/23184,误差小于1/231842=1.8605×10^-9
但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程.其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数,把√d化成连分数.把二次根式展成连分数是挺容易的,在这里我不再作展开啦,有兴趣的话可以到网上找找看.
泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略.
迭代法
假设我们已经有一个较好的初值x,x²≈n,
设修正值为a,即(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,忽略很小的a²,即x²+2ax≈n,
从而a≈(n-x²)/(2x),x+a≈(n+x²)/(2x)
把(n+x²)/(2x)的值从新代替x,将得到更好的精确值,下面证明0≤|( (n+x²)/(2x) )²-n| < |x²-n|
现在如果其中一个迭代值x>√n那么
(n/x +x)/2