作业帮数学分析的一道证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 11:48:14
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数学分析的一道证明题
数学分析的一道证明题
数学分析的一道证明题
作为x的函数对1/t^x使用Lagrange中值定理得:
对1 < a < b < 2,当t ≥ 1有|1/t^a-1/t^b| ≤ |a-b|·|ln(t)|/t^a,当0 < t ≤ 1有|1/t^a-1/t^b| ≤ |a-b|·|ln(t)|/t^b.
由0 < ln(1+t) ≤ t,在0 < t ≤ 1时0 < ln(1+t)|ln(t)|/t^b ≤ -ln(t)·t^(1-b).
右端原函数-ln(t)·t^(2-b)/(2-b)+t^(2-b)/(2-b)²,在[0,1]上积分收敛到1/(2-b)².
在1 ≤ t时0 < ln(1+t) ≤ ln(2)·t^((a-1)/2),故0 < ln(1+t)ln(t)/t^a ≤ ln(2)·ln(t)·t^(-(a+1)/2).
右端原函数2ln(2)·ln(t)·t^((1-a)/2)/(1-a)-4t^((1-a)/2)/(1-a)²,在[1,+∞)上积分收敛到4/(1-a)².
我们得到控制|F(a)-F(b)| ≤ (1/(2-b)²+4/(1-a)²)·|a-b|.由此易见F(x)在(1,2)中连续.
证明积分收敛性用比较判别法就行了,但为了得到关于a,b的有界性进行了具体计算.
这个有界性是连续性证明中所需要的.当然估计手法其实还可以更粗放一些.
印象中含参变量积分有一些现成的结论可用,可惜我一点也想不起来了.
所以用的是基本的定义和单纯的估计.