在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD.要是点D恰好落在BC上,求AP的长

在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD.要是点D恰好落在BC上,求AP的长
在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD.要是点D恰好落在BC上,求AP的长

在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=9,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD.要是点D恰好落在BC上,求AP的长
如图所示：
做辅助线DP'使得DP'垂直于AC,三角形ABC为等腰直角三角形,则AC=AB=9
OP'为OP旋转所得,则OP=OP'
又旋转角度为90
所以角AOP+角DOP'=角AOP+角APO
即角APO=角DOP'
又角P'DA=角CAB=90,OP=OP'
所以三角形AOP与三角形OP'D全等
则AO=DP'=2
又三角形ACB与三角形DCP'相似
所以三角形CDP'为等腰直角三角形
所以CD=DP'=2
所以OD=AC-CD-AO=5
又三角形全等
所以AP=OD=5

点D在BC上，过D作DQ⊥AC于点Q
因为OP=OD，易得：
Rt△DOQ≌Rt△OPA
所以：OQ=AP,DQ=OA=2
易知，△DQC为等腰直角三角形
故：CQ=DQ=2
所以：OQ=AC-OA-CQ
=9-2-2
=5
所以，AP=5

图你自己画画吧？
∵∠ABC+∠BDP=∠APD=∠OPD+∠APO 且△ABC与△OPD都是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°=∠OPD ∠A=90°=∠POD ∴∠BDP=∠APO
∵∠AOP+∠COD=90°=∠AOP+∠APO ∴∠COD=∠APO=∠BDP ∵∠ABC=∠ACB
∴△PDB∽△OCD ∴BD：OC=BP：...

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图你自己画画吧？
∵∠ABC+∠BDP=∠APD=∠OPD+∠APO 且△ABC与△OPD都是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°=∠OPD ∠A=90°=∠POD ∴∠BDP=∠APO
∵∠AOP+∠COD=90°=∠AOP+∠APO ∴∠COD=∠APO=∠BDP ∵∠ABC=∠ACB
∴△PDB∽△OCD ∴BD：OC=BP：CD=PD：OD （在这里 △OPD是等腰直角三角形，∴三边比是1:1：根号2 即PD：OD=根号2：1）
∴BD=根号2倍OC ∵AO=2 AC=9 ∴BC=9倍根号2 OC=7 ∴BD=7倍根号2
∴CD=2倍根号2 ∵BP：CD=根号2:1 ∴BP=根号2倍CD=4 ∴AP=9-4=5

收起

以A点为原点，AB为x轴建立直角坐标系
CB： x+y=9
O(0,2)
P(x,0)
D(a,b)
由题意：OP=OD, OP⊥OD, D在CB上
（坐标化）：
x^2+4=a^2+(b-2)^2 (1)
a+b=9 (2)
用向量表示OP⊥OD，ax=2b-4 (3)
(...

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以A点为原点，AB为x轴建立直角坐标系
CB： x+y=9
O(0,2)
P(x,0)
D(a,b)
由题意：OP=OD, OP⊥OD, D在CB上
（坐标化）：
x^2+4=a^2+(b-2)^2 (1)
a+b=9 (2)
用向量表示OP⊥OD，ax=2b-4 (3)
(2)带入(3)
ax=14-2a (4)
(2)带入(1)
a^2+(a-7)^2=x^2+4 (5)
(4)带入(5)
a=2，带入（4） x=5

收起

因为∠POD=90度,所以∠AOP+∠DOC=90度，又因为∠A=90度,所以∠AOP+∠APO=90度,所以∠APO=∠DOC
因为线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD，
所以OP=OD,即∠OPD=∠ODP=45度
所以∠ODC+∠PDB=∠APO+∠BPD=135度
又因为上面证得∠APO=∠DOC,
所以∠ODC+∠PDB=∠DOC+∠BPD＝...

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因为∠POD=90度,所以∠AOP+∠DOC=90度，又因为∠A=90度,所以∠AOP+∠APO=90度,所以∠APO=∠DOC
因为线段OP绕点O逆时针旋转九十度得到线段OD，
所以OP=OD,即∠OPD=∠ODP=45度
所以∠ODC+∠PDB=∠APO+∠BPD=135度
又因为上面证得∠APO=∠DOC,
所以∠ODC+∠PDB=∠DOC+∠BPD＝135度
因为三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠B＝∠C＝45度
所以∠ODC+∠DOC=∠BDP+∠BPD＝135度
即∠PDB=∠DOC,∠ODC=∠BPD
即三角形CDO与三角形BPD相似，所以
OC/BD=OD/DP=CD/BP
又因为在等腰直角三角形POD中，OD/DP＝√2/2 （符号√代表根号）
所以OC/BD=CD/BP=√2/2
又因为OC=7
所以BD=7√2
CD＝9√2-7√2＝2√2
所以BP＝4
所以AP＝AB-BP＝9-4＝5
结果为AP＝5

收起

如图，通过D点作AC的垂线交AC于E点

因为OPD是等腰直角三角形

=》角POD=90度

角AOP+角POD+角COD=180度

=》角AOP+角COD=90度

角APO+角AOP=90度

=》角COD=角APO

又因为OP=OD（等腰直角三角形两直角边）

所以

直角三角形AOP全等于直角三角形EOD

=》AP=OE，DE=AO=2

三角形DEC也为等腰直角三角形

=》EC=DE=2

AC=AO+OE+EC=AO+AP+EC=2+AP+2=9

=>AP=5

先正确画出图形。此题用相似来解决。△PBD～△DCO
由题意可知∠C=∠B=∠ODP=∠OPD=45°
所以∠PDB+∠ODC=180°-∠ODP=135°，∠ODC+∠DOC=135°
所以△PBD～△DCO
因为OP=OD且∠POD=90度
所以△OPD为等腰直角三角形
所以PD=根号二（打不出来）倍的OD
因为相似，所以对应线段成比例，...

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先正确画出图形。此题用相似来解决。△PBD～△DCO
由题意可知∠C=∠B=∠ODP=∠OPD=45°
所以∠PDB+∠ODC=180°-∠ODP=135°，∠ODC+∠DOC=135°
所以△PBD～△DCO
因为OP=OD且∠POD=90度
所以△OPD为等腰直角三角形
所以PD=根号二（打不出来）倍的OD
因为相似，所以对应线段成比例，OD与PD为对应线段（看图）
所以 OD：（比）PD=OC:BD=DC:PB=根号2
所以BD=OC*根号2=7倍的根号2
在等腰RT △ABC中，AB=AC=9,BC=根号二倍的AC=9倍的根号2
所以DC=BC-BD=2倍的根号2
所以PB=根号二*DC=2倍的根号2*根号2=4
证得AP=AB-BP=9-4=5

收起

∵∠B=∠C=45°
∠DOC=∠PDB
∴△DOC∽△PDB
BP/DC=BD/OC=PD/OD=√2
设BP为x,DC=x/√2 ,BD=9√2 - x/√2
即:(9√2 - x/√2)/7 = √2
18-x=14
x=4
AP=9-4=5