作业帮设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 21:15:15
![设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围](/uploads/image/z/9517299-51-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dtx%26%23178%3B%2B2t%26%23178%3Bx%2Bt-1%2Cx%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%2C%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5t%3E0%2C%E6%B1%82f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BCh%EF%BC%88t%EF%BC%89%E5%AF%B9%E4%BA%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B8%AD%E7%9A%84h%EF%BC%88t%EF%BC%89%EF%BC%8C%E8%8B%A5t%E2%88%88%EF%BC%880%2C2%5D%E6%97%B6%EF%BC%8Ch%EF%BC%88t%EF%BC%89%EF%BC%9C-2t%2Bm%26%23178%3B%2B4m%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%8C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围
设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）
对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围
设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围
t>0表示f(x)为开口向上的二次函数,f(x)的对称轴为x=t
当t>1时,区间上函数单调减,h(t)=f(1)=2t^2+2t-1
当0<t≤1时,区间上函数无单调性,最小值在顶点处取得,即h(t)=f(t)=3t^3+t-1
对于补充问题
令g(t)=-2t+m^2+4m,显然g(t)为减函数.以下分区间讨论
当0<t≤1时,有h(t)=3t^3+t-1,因h'(t)=9t^2+1>0,说明h(t)在区间0<t≤1上为增函数,
于是h(t)max=h(1)=10.而g(t)在区间0<t≤1上为减函数,有g(t)mim=g(1)=m^2+4m-2.
由于h(t)≤h(t)max,g(t)≥g(t)mim,要使h(t)<g(t),只要h(t)max<g(t)mim,于是有
10<m^2+4m-2,解此不等式得m的取值.略
当1<t≤2时,有h(t)=2t^2+2t-1,因h(t)开口向上且对称轴t=-1/2,显然h(t)在区间1<t≤2上为增函数,于是h(t)max=h(2)=11.而g(t)在区间1<t≤2上有g(t)mim=g(2)=m^2+4m-4.
同上理有11<m^2+4m-4,解此不等式得m的取值.略
将上面两项m的取值范围取并集,即得所求
