自椭圆x2/a2+y2/b2=1上一点M向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB于OM平行.(1)求此椭圆的离心率(2)P为椭圆上一点,F2为右焦点,当|PF1|*|PF2|取最大值时,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 05:03:26
![自椭圆x2/a2+y2/b2=1上一点M向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB于OM平行.(1)求此椭圆的离心率(2)P为椭圆上一点,F2为右焦点,当|PF1|*|PF2|取最大值时,](/uploads/image/z/9598444-52-4.jpg?t=%E8%87%AA%E6%A4%AD%E5%9C%86x2%2Fa2%2By2%2Fb2%3D1%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9M%E5%90%91x%E8%BD%B4%E5%81%9A%E5%9E%82%E7%BA%BF%2C%E6%81%B0%E5%A5%BD%E9%80%9A%E8%BF%87%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%B7%A6%E7%84%A6%E7%82%B9F1%2C%E4%B8%94%E5%85%B6%E9%95%BF%E8%BD%B4%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E7%82%B9A%E5%8F%8A%E7%9F%AD%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%AB%AF%E7%82%B9B%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BA%BFAB%E4%BA%8EOM%E5%B9%B3%E8%A1%8C.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%AD%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%EF%BC%882%EF%BC%89P%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2CF2%E4%B8%BA%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E5%BD%93%7CPF1%7C%2A%7CPF2%7C%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%97%B6%2C)
自椭圆x2/a2+y2/b2=1上一点M向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB于OM平行.(1)求此椭圆的离心率(2)P为椭圆上一点,F2为右焦点,当|PF1|*|PF2|取最大值时,
自椭圆x2/a2+y2/b2=1上一点M向x轴做垂线,
恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB于OM平行.(1)求此椭圆的离心率(2)P为椭圆上一点,F2为右焦点,当|PF1|*|PF2|取最大值时,求P点的坐标
自椭圆x2/a2+y2/b2=1上一点M向x轴做垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB于OM平行.(1)求此椭圆的离心率(2)P为椭圆上一点,F2为右焦点,当|PF1|*|PF2|取最大值时,
1.因为AB//OM
所以斜率相等.
又因为B(0,b) A(a,0)
所以Kab=-b/a
所以Kom=-b/a
因为M点横坐标为-C,带入标方,得M(-c,b^2/a)
所以(b^2/a)/-c=-b/a
所以c=b ,c^2=b^2 ,c^2=a^2-c^2
所以e=1/2
2.设P为(x0,y0).由焦半径公式得(a-ex0)(a+ex0)=|PF1||PF2|
所以|PF1||PF2|=a^2-c^2*x0^2/a^2
要使|PF1||PF2|最大,变量x0^2必取最小值
所以令x0为0 得|PF1||PF2|最大值为a^2
将x0=0 带入标方,得y=±b
所以P点的坐标为(0,±b)
kab=-b/a=kmo
所以mo:y=-b/a x代入椭圆
x2/a2+b2x2/a2 /b2=1
x=根号2/2 a=c
所以e=c/a=根号2/2
(1)∵MF1⊥x轴,AB∥OM,
∴Rt△OMF1∽Rt△ABO⇒
MF1BO
=
OF1AO
…(*)
设点M(-c,y1),代入椭圆方程
x2a2
+
y2b2
=1,
得
c2a2
+
y12b2
=1,解之得y1=
b2a
(舍负),所以MF...
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(1)∵MF1⊥x轴,AB∥OM,
∴Rt△OMF1∽Rt△ABO⇒
MF1BO
=
OF1AO
…(*)
设点M(-c,y1),代入椭圆方程
x2a2
+
y2b2
=1,
得
c2a2
+
y12b2
=1,解之得y1=
b2a
(舍负),所以MF1=
b2a
,
又∵AO=a,BO=b,OF1=c,
∴将AO、BO、MF1、OF1的长代入(*)式,得
b2ab
=
ca
,
∴b=c,得到b2=c2,即a2-c2=c2,所以a2=2c2,
∴离心率e满足e2=
12
,可得e=
22
(舍负)(8分)
(2)分两种情况加以讨论
①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,∠F1QF2的大小为零;
②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时,设∠F1QF2的大小为θ,则
在△F1QF2中,F1F22=QF12+QF22-2QF1•QF2cosθ
即F1F22=(QF1 +QF2)2-2QF1•QF2(1+cosθ),
将F1F2=2c,QF1+QF2=2a代入,得4c2=4a2-2QF1•QF2(1+cosθ),
∴4a2-4c2=2QF1•QF2(1+cosθ),
∵QF1•QF2≤(
QF1+QF22
)2=a2,即得2QF1•QF2(1+cosθ)≤2a2(1+cosθ),
∴4a2-4c2≤2a2(1+cosθ),结合(1)的结论a2=2c2,
∴2a2≤2a2(1+cosθ)⇒cosθ≥0,
∵θ∈(0,π)
∴0<θ≤
π2
,
综上所述,θ∈[0,
π2
],即∠F1QF2的取值范围是[0,
π2
](14分)
收起