椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两顶点A(a,0)B(0,b),右焦点为F,且F到直线AB的距离等于F到原点的距离.求:离心率e的取值范围是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 20:28:35
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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两顶点A(a,0)B(0,b),右焦点为F,且F到直线AB的距离等于F到原点的距离.求:离心率e的取值范围是?
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两顶点A(a,0)B(0,b),右焦点为F,且F到直线AB的距离等于F到原点的距离.
求:离心率e的取值范围是?
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两顶点A(a,0)B(0,b),右焦点为F,且F到直线AB的距离等于F到原点的距离.求:离心率e的取值范围是?
设焦点为(c,0)直线AB的方程是x/a+y/b=1,则F到直线AB的距离等于|c/a|/根号(1/a^2+1/b^2).它等于F到原点的距离c,而且a^2-b^2=c^2,c=ae,可解出.
S△AFB=1/2|AB|c
S△AFB=1/2|AF|b
由等面积,知
|AB|c=|AF|b
即 √(b^2+a^2) *c=(c-a)b
两边平方,把b^2换成a^2-c^2,c换成ae,得
(2-e^2)e^2=(1-e)^2(1-e^2)
====> 2e^3-2e^2-2e+1=0
令f(e)=2e^3-2e^2-2e+1...
全部展开
S△AFB=1/2|AB|c
S△AFB=1/2|AF|b
由等面积,知
|AB|c=|AF|b
即 √(b^2+a^2) *c=(c-a)b
两边平方,把b^2换成a^2-c^2,c换成ae,得
(2-e^2)e^2=(1-e)^2(1-e^2)
====> 2e^3-2e^2-2e+1=0
令f(e)=2e^3-2e^2-2e+1
这时画出三次函数图像f(0)=1>0,f(1)=-1<0,综合三次函数性质知f(e)在(0,1)上单调递减
或者求导知f'(e)=6e^2-4e-2 在(0,1)上恒小于0,同样得到f(e)在(0,1)上单调递减
把选项中临界的值代入 f(√2/2)=-√2/2<0 f(√2-1)=12√2-17=-0.029<0
所以,0
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