（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5．第二小问用纯几何的方法

（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5．第二小问用纯几何的方法
（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．
（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C,AB=3,BC=5．
第二小问用纯几何的方法做,不要用空间向量,

（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．（2013•北京）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5．第二小问用纯几何的方法
（I）证明：∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC．
（II）由AC=4,BC=5,AB=3．
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系,则A1（0,0,4）,B（0,3,0）,B1（0,3,4）,C1（4,0,4）,
∴
BC1
＝(4,−3,4),
BA1
＝(0,−3,4),
BB1
＝(0,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为
n1
＝(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量为
n2
=（x2,y2,z2）．
则
n1
•
BC1
＝4x1−3y1+4z1＝0
n1
•
BA1
＝−3y1+4z1＝0
,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴
n1
＝(0,4,3)．
n2
•
BC1
＝4x2−3y2+4z2＝0
n2
•
BB1
＝4z2＝0
,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴
n2
＝(3,4,0)．
cos＜
n1
,
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
| |
n2
|
=
16
25
•
25
=
16
25
．
∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为
16
25
．
（III）设点D的竖坐标为t,（0＜t＜4）,在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D(t,
3
4
(4−t),t),
∴
AD
=(t,
3
4
(4−t),t),
A1B
=（0,3,-4）,
∵
AD
⊥
A1B
,∴
AD
•
A1B
＝0,
∴0+
9
4
(4−t)−4t＝0,解得t=
36
25
．
∴
BD
BC1
＝
DE
CC1
＝
9
25
．