已知a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3.求（1）abc的值；；2）a^4+b^4+c^4的值.

已知a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3.求（1）abc的值；；2）a^4+b^4+c^4的值.
已知a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3.求（1）abc的值；
；2）a^4+b^4+c^4的值.

已知a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3.求（1）abc的值；；2）a^4+b^4+c^4的值.
a+b+c=1
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
a^2+b^2+c^2=2 => ab+ac+bc= -1/2
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ba^2+ca^2+ab^2+ac^2+bc^2+cb^2)+6abc=1 (1)
(a+b+c)(ab+ac+bc)=ba^2+ca^2+ab^2+ac^2+bc^2+cb^2+3abc=1*(-1/2)= -1/2 (2)
结合（1）（2）得 3+(-3/2)- 3abc=1 => abc= -5/6
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(ab)^2+2(ac)^2+2(bc)^2=4 (3)
(ab+ac+bc)^2=(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 + 2bca^2+2acb^2+2abc^2
=(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 + 2abc(a+b+c) =1/4 (4)
结合（3）（4）得 a^4+b^4+c^4+ 2(1/4-2*(-5/6)*1)=4 => a^4+b^4+c^= 1/6

∵ (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
∴ ab+bc+ac=((a+b+c)²-(a²+b²+c²))/2=(1-2)/2=-1/2
∵
(a+b+c)³
=(a²+b²+c²+2(ab+bc+ac))*(a+b+c)...

全部展开

∵ (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
∴ ab+bc+ac=((a+b+c)²-(a²+b²+c²))/2=(1-2)/2=-1/2
∵
(a+b+c)³
=(a²+b²+c²+2(ab+bc+ac))*(a+b+c)
=a³+ab²+ac²+2(a²b+abc+a²c)+a²b+b³+bc²+2(ab²+b²c+abc)+a²c+b²c+c³+2(abc+bc²+ac²)
=a³+b³+c³+6abc+3ab²+3a²b+3a²c+3b²c+3bc²+3ac²
=a³+b³+c³+6abc+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)
=a³+b³+c³+6abc+3ab(1-c)+3ac(1-b)+3bc(1-a)
=a³+b³+c³-3abc+3ab+3bc+3ac
∴ abc=(a³+b³+c³+3(ab+bc+ac)-(a+b+c)³)/3=(3-3/2-1)/3=1/6
-------------------------------------
∵
(a+b+c)^4
=(a³+b³+c³-3abc+3ab+3bc+3ac)*(a+b+c)
=(a³+b³+c³)*(a+b+c)+(-3abc+3ab+3bc+3ac)*(a+b+c)
=(a³+b³+c³)*(a+b+c)+((a+b+c)³-(a³+b³+c³))*(a+b+c)
=a^4+b^4+c^4+ ab³+ac³+a³b+bc³+a³c+b³c+(1-3)*1
=a^4+b^4+c^4+ ab³+ac³+a³b+bc³+a³c+b³c-2
=a^4+b^4+c^4+ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)-2
=a^4+b^4+c^4+ab(2-c²)+ac(2-b²)+bc(2-a²)-2
=a^4+b^4+c^4+2(ab+ac+bc)-abc(a+b+c)-2
=a^4+b^4+c^4-1-1/6-2
=a^4+b^4+c^4-19/6
∴ a^4+b^4+c^4=(a+b+c)^4+19/6=1+19/6=25/6

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