一元二次方程及一元二次方程应用题的总结

一元二次方程及一元二次方程应用题的总结
一元二次方程及一元二次方程应用题的总结

一元二次方程及一元二次方程应用题的总结
〖教学目标〗
◆1,经历一元二次方程概念的发生过程.
◆2,理解一元二次方程的概念.
◆3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项.
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式.
◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点.
〖教学过程〗
合作学习
列出下列问题中关于未知数x的方程
①正方形的面积为80,边长为x,则可列出方程 .
②某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x,则可列出方程 .
引入新课
观察方程x2=80 和
两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)
练一练:1,判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2
② +x+3=0 ③ ④ ⑤
2,判断未知数的值,是否是方程的根.
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(,为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中,分别称为二次项,一次项和常数项.,分别称为二次项系数和一次项系数.
思考:为什么,可以为零吗
三,范例讲解:
例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
① ②
③ ④
解:① 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
② 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
③ 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
④ 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项.
四,练习巩固:
1,方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号).
2,关于的一元二次方程的一个解是,则
3,判断下列各方程后面的两个数是不是它的解.
① ( )
② ( )
③ (3 , 1) ( )
④ () ( )
五,小结:
记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程;
化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项;
能判断的值是不是方程的解.
作业:见作业本
2.1一元二次方程(2)
【教学目标】
◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
◆2.会用因式分解法解一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程.
◆教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点.
【教学过程】
复习引入
1,将下列各式分解因式:
教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2,你能利用因式分解解下列方程吗
请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视.
之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题)
新课学习
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤:
教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书)
若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;
将方程的左边分解因式;
根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
2,讲解例2.
(1)解下列一元二次方程:
教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或",而不能用且.
(2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左,右两边,等式成立吗
(3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型:
①先变形成一般形式,再因式分解:
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式.
讲解例3.
解方程
在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范.
3,补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗
首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0.
三,巩固练习:
课本第32页课内练习.
四,体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗
先由学生自由发言,教师再投影演示:
1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.
4,用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5,数学思想:整体思想和化归思想.
五.课后作业
1.书本作业题
2.作业本
【板书设计】
屏幕
2.1一元二次方程(二)
——因式分解法解一元二次方程
1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
2. 数学思想:整体思想和化归思想.
2.2一元二次方程的解法(1)
【教学目标】
◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.
◆2. 会用开平方法解一元二次方程.
◆3. 理解配方法.
◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:开平方法.
◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度.
【教学手段】
用多媒体powerpoint和黑板的形式.
【教学过程】
(一)引入新课
问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约AC=5千米.请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米
从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解,方程根的检验等起着复习巩固的作用.
(二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根.
如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念.
通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1,它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 ).2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法)
然后通过一系列,连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程.
例1,
(1 )
(2)
(3)
(4)
通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察,变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程.
(三),问题2:
把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数.
1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边.
2:方程两边同加上一个合适的数.
3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数.
4:最后用开平方法来解
即可引出配方法的概念.像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左,右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方.)
为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出.即突破本节课的难点.
(1)
(2)
(3)
最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方;
2:前提条件:二次项系数为1
例2,
(1)
(2)
再次总结:形如 (二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程.
具体的步骤有:
第一:移项.
第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方.
第三:再用开平方法来解方程.
(四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办 为下节课的教学打下了基础.
例3,
课堂小结
让学生回答1:用开平方法,配方法解一元二次方程的概念.2:用这两种方法解方程时,方程的特点.3:用这两种方法解方程时的步骤.4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项.
六,布置作业.
2.2一元二次方程和解法(2)
【教学目标】
◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.
◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.
◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程.
【教学过程】
一.复习旧知
用适当的方法解下列方程: 1,(x-2)2=3
2, x2+3x+1=0
请学生上来板演,老师点评归纳.
二.新课讲授
1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1
提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解
经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答.
教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题.即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程.
2.讲解例题
例3:用配方法解下列一元二次方程
(1)2x2+4x-3=0
(2) 3x2-8x-3=0
评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生容易发现,两个方程同解.再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归.
(2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以.
教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为:
(1)x2+px=-q(移);
(2)x2+px+() 2=-q+() 2(配);
(3)(x+)2= (化);
(4)解得x=- (解)
2,当二次项系数不为1时,则在 "移"之前先要有个"除",即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1.
练习:用配方法解下列方程
1.2x2-7x+5=0
2.-3n=1
3.x2-x-=0
练习:
一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米
三:小结
本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程.
本课时的难点是对二次项系数的处理.
四:布置作业
课本""作业本"及习题精选中对应的练习.
2.2一元二次方程的解法(3)
【教学目标】
◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程.
◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性.
2.培养学生快速而准确的计算能力.
◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.
2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美,简洁美,产生热爱数学的情感.
【教学重点与难点】
◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
【教学过程】
(一)复习引入
1.用配方法解下列方程.
(1)x2-7x+11=0,(2)9x2=12x+14.
(通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.)
2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0.
解:移项,得x2+2px=-q
配方,得x2+2px+p2=-q+p2
即(x+p)2=p2-q.
(教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a,
∵ a≠0, ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时.
从上面的结论可以发现:
(1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的.
(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根.
的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
(二)师生互动,应用新知
互动1
师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b2-4ac ≥0 , 那么b2-4ac<0时会怎样呢
生:当b2-4ac<0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解.
明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac0,
∴ x1=2,x2=1.
在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先"代"后"算".不要边代边算.引导学生总结步骤 1.确定a,b,c的值.2.算出b2-4ac的值.3.代入求根公式求出方程的根.
例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根,应写成x1=
例3用公式法解一元二次方程:
(1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0
其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2-4ac<0,方程无实数根.
明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式, 确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,把a,b,c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac<0,此时方程无解.
练习:P.35课内练习1.熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力.
互动3
请同学们根据学习体会,小结一下解一元二次方程的几种方法,通常你是如何选择的 请同学们交流,教师鼓励发言.
明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式.
练习:P.35课内练习2.合理选择解法.
(三)达标反馈,深化新知
(1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A)
A.x= B.x= C.x= D.x=
(2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是
(3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗:
x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0,
(四)总结及布置作业
引导学生从以下几个方面总结:
≥0).
(2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式.②确定a,b,c的值.③算出b2-4ac的值.④代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单.
2.求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解,如果b2-4ac<0时,则在实数范围内无实数解.渗透一种分类的思想.
2.3一元二次方程的应用(2)
【教学目标】
◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.
◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.
【教学重点与难点】
◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.
◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点.
【教学过程】
1.复习提问,
(1)列方程解应用题的基本步骤
答: ①审题;
②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量;
③找出所涉及的基本数量关系;
④列方程;
⑤解方程;
⑥检验.
2.新课讲解,
列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.
如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少
分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程.
解 设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得
化简,整理,得
解这个方程,得 (不合题意,舍去)
答:纸盒的高为5cm.
接下来,同学们来做一下课内练习题1.
围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽.
解: 设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得
化简,整理,得
解这个方程,得
答:略.
合作学习:
一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km.
如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断
如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响区
建议:
①假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置;
②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程;
③通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确;
④讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样
提示:①几何画版给出演示;
②若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C'点,台风中心到达B'点,那么船是否受到台风影响与什么有关
③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响
④你能用关于t的代数式表示B',C'两点之间的距离吗
⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗
解答(略)
练习
练习:P40——课内练习2
补充练习:P40---作业题5
课堂小结:
体会如何根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.从中学到了什么

1,经历一元二次方程概念的发生过程.
2,理解一元二次方程的概念.
3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项.